Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Экстремум функции нескольких переменных.
Функция f (x 1, x 2,…, xn) имеет максимум (минимум) в точке Р, если для всех отличных от Р точек Р1 в достаточно малой окрестности точки Р выполняется неравенство f (p)< f (p 1). Максимум или минимум функции называется локальным экстремумом. Точки, в которых дифференцируемая функция f (x 1, x 2,…, xn) может достигать экстремума, называются стационарными точками. Необходимые условия экстремума. Если дифференцируемая функция u = f (P) достигает экстремума в точке Р0,то в этой точке все её первые частные производные обращаются в ноль, т.е. (2.12)
Из решения системы уравнений (2.12) находят координаты стационарных точек. Достаточные условия экстремума. Пусть функция u = f (P) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности её стационарной точки Р0. Тогда если второй дифференциал d 2 u (P 0) в окрестности точки Р0 имеет постоянный знак, то функция имеет максимум в точке Р0, если d 2 u (P 0)<0 и минимум, если d 2 u (P 0)>0. Для функции двух переменных z = f (x, y) достаточные условия формулируются следующим образом. Пусть P 0 (x 0; y 0)- стационарная точка функции z = f (x, y) и Тогда: а) если D >0, то в точке P 0 (x 0; y 0) есть экстремум, причём максимум, если A <0 и минимум, если A >0; б) если D <0, экстремума в точке P 0 (x 0; y 0) нет; в) если D =0 – требуются дополнительные исследования. Пример: исследовать функцию на экстремум z =2 x 3 +2 y 3 -36 xy +430. Находим первые частные производные Найдём стационарные точки, решив систему:
Из первого уравнения y =, подставив его во второе уравнение, получим x 4 -216 x =0, которое запишем так x (x 3 -216)=0. Разлагая на множители выражение в скобках получим: x (x -6)(x 2 +6 x +36)=0. Данное уравнение имеет два действительных корня x 1 =0, x 2 =6. Получили две стационарные точки P 1 (0;0) и P 2 (6;6). Проверим достаточные условия для каждой из точек: A= =12x; C= =12y; B= = -36
Точка Р1(0;0): A =0; C =0; D = AC - B 2 <0, т.е. в точке P 1 (0;0) экстремума нет. Точка P 2 (6;6): A =72; C =72: D =72·72-362>0 - в точке Р2(6;6)- экстремум есть, а т.к. A =72>0, то имеет место минимум zmin =-2. Пример: найти стационарные точки и исследовать их характер у функции z=x 3 +y 3 -3xy Составляем систему для нахождения стационарных точек: , т.е. x = y 2, подставим это равенство в первое уравнение, получим 3 y 4 -3 y =0; 3 y (y 3 -1)=3 y (y -1)(y 2 + y +1)=0.
Возможны два решения y =0, тогда и x =0, т.е. первая стационарная точка Р1(0;0). Или y=1, тогда x=1, вторая стационарная точка Р2(1;1). Проверим достаточные условия для каждой из точек; A= Р1(0;0): A= =0; т.е. D=0·0-(-3)2 <0-экстремума нет. Р2(1;1): A= =6; C= =6; B= =-3, т.е. D=6·6-9>0, и A= =6>0, т.е. в точке Р2(1;1)- минимум. Zmin (1;1)=-1 Двойные интегралы. Индивидуальные домашние задания второго семестра кроме задач на несобственные интегралы и дифференцирование ФМП содержат задачи на интегральное исчисление функций двух и трех независимых переменных. Задания по теме «Двойные интегралы» включают в себя следующие задачи: а) начертить область, на которую распространен двойной интеграл, поменять порядок интегрирования, записать интеграл в полярной системе координат; б) используя представление о декартовой и полярной системах координат на плоскости, решить задачу на приложения двойного интеграла. Задача об объеме цилиндрического тела приводит нас к понятию двойного интеграла. Если функция f(x,y) = f(P) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D плоскости XOY, а - площади элементарных подобластей, полученных разбиением области D, диаметры которых d , то предел интегральных сумм (если он существует) называется двойным интегралом от функции f (x,y) по области D:
3.1 Свойства двойного интеграла. а) геометрический смысл двойного интеграла – объем цилиндрического тела б) если f(x,y) = 1, то численно двойной интеграл равен площади области D в) константу можно выносить за знак интеграла г) интеграл от суммы функций равен сумме интегралов д) если D= , где - не пересекаются, то е)
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-04; просмотров: 76; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.139.79.59 (0.006 с.) |