Дифференцирование сложных функций.

Пусть функция z =ƒ(x, y), дифференцируема в точке A (x o, y o), а функции x = X (t) и y = Y (t) - дифференцируемы по независимой переменной t, тогда z =ƒ[ X (t), Y (t)] – сложная функция, в конечном счете, зависящая только от переменной t. Производная по аргументу t   вычисляется по формуле:

dz/dt = ∂ z /∂ x ∙ dx/dt  +  ∂ z /∂ y ∙ dy/dt                                  (2.1)        

В формулу входят как полные, так и частные производные.

Пример: найти dz/dt,  если z = x ²+ y ²+ x ∙ y, где   x = sin t, y = tg t. 

  Найдем первые частные производные от функции z =ƒ(x, y): ∂ z /∂ x = 2 x + y, ∂ z /∂ y =2 y + x;  найдем производные по попеременной t:                         dx/dt= cos t, dy/dt=1 /(cos t)²= sec ² t; тогда по формуле (2.1)

dz/dt = (2 x + y)∙ cos t + (2 y + x)∙ sec ² t =(2 sin t + tg t)∙ cos t +(2 tg t + sin t)∙ sec ² t

Пример: найти dz/dt, если z=arcsin(x-y), x=3t, y=4t³

Найдём первые частные производные от функции z = ƒ (x, y):

 =                        ;                   =

Найдём производные от функций x =X(t) и y = Y (t) по переменной t

     

Для окончательного решения примера воспользуемся формулой (2.1):

Если функция z = ƒ (x, y), а её аргументы сами являются функциями 2-х      переменных, т.е.

x = X (u, v); y = Y (u, v), то тогда функция z =ƒ[ X (u, v), Y (u, v)] - сложная функция переменных u и v.

Тогда:
                                                                                                                  (2.2)

 

Пример: найти         и    , если z = x ² y - y ² x, где x = u cos v, y = u sin v.

 

Пример: найти ∂z/∂u и ∂z/∂v, если z=x²∙lny, где                           

Найдем частные производные и воспользуемся формулой (2.2):
       

         

Если функция z = ƒ(x, y), а y =φ(x), то z = ƒ[ x,φ(x)], т.е. z является сложной функцией одного аргумента x, поэтому будет существовать производная  dz/dx, а т.к. z= f (x, y), то существуют частные производные             ,

где                                                                                                           (2.3)            

Пример: найти          и  если z=xy²+x²y, а y=sinx

∂z/∂x = y²+2xy, ∂z/∂y=2xy+x², dy/dx = cosx

Тогда по формуле (2.3)

dz/dx = (y²+2xy)+(2xy+x²)∙cosx

Пример: найти      , если z = tg (3 t +2 x ²); x =

Дифференцирование функций, заданных неявно.

Пусть задано уравнение F (x, y)=0, причём функция F (x, y) и её частные производные F ´ x (x, y) и F ´ y (x, y)- определены и непрерывны в некоторой окрестности точки (x ₀, y ₀). Пусть F (x ₀, y ₀)=0,а F ´ y (x, y)≠0. Считаем, что функция y =ƒ(x) неявно задана уравнением F (x, y)=0.

Тогда существует производная                                                                   (2.4)

Если задано уравнение F (x, y, z)=0 и z =ƒ(x, y)- функция, заданная неявно, то

                                                                                                                        (2.5)

Пример: найти   если F (x, y)= xe^y + ye^x -e ^xy =0

F ´ _x = e^y + ye^x - e^xy y; F ´ _y = xe^y + e^x - e^xy x

Тогда в соответствии с формулой (2.4)

Пример: найти          , если F (x, y, z)= z ³ +3 xyz - a ³

F ´ _x =3 yz; F ´ _y =3 xz; F ´ _z =3 z ² +3 xy

Тогда по формуле (2.5)

Производная по направлению.

Если функция f (x, y, z) дифференцируема в точке (x, y, z), то для неёимеет смысл производная по направлению любого единичного вектора   

    l (cos α, cos β, cos γ) и

                                                                                                    , OZ)

Т.к. вектор l - единичный, то cos ² α+ cos ² β+cos²γ=1                                    (2.7)

Пример: найти производную функции u = x ²-3 yz +5 в точке М(1,2,-1) в направлении, составляющем одинаковые углы со всеми координатными осями.

Т.к. α=β=γ, то cos α=cos β= cos γ, тогда в соответствии с формулой (2.7)

cos² α=cos² β= cos² γ=1/3, т.е. cos α=cos β= cos γ= =

 

     2x |_M

Пример: найти производную функции z=2y²-xy-2x² в точке P (2;1) в направлении, составляющем с осью O X угол 30°.

Тогда: