Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат

А) Пусть функция f(x,y) непрерывна в области D. Если D прямоугольник, то при вычислении двойного интеграла, при a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d  имеет место формула (рис. 3.1):

,

которая показывает, что порядок интегрирования можно менять.

Рис 3.1

Б) Если функция f(x,y) непрерывна на множестве (рис.3.2)

D=

Где (x) и  – непрерывны на отрезке  и (x) (x) на , то

=                                  (3.1)

 

Рис 3.2                                             Рис.3.3

 

Правая часть в (3.1) называется повторным интегралом, то есть результатом последовательного вычисления сначала интеграла по y при фиксированном x, а затем интеграла по x от получившейся функции.

В) Если функция f(x,y) непрерывна в области D (рис.3.3)

D= D= {(c≤y≤d, x1(y) ≤x≤ x2(y)}

Где функции  и  непрерывны на сегменте  )  на [c,d], то верно равенство:

=                                  (3.2)

Г) Если область D такова, что к ней применима и формула (3.1), и формула (3.2), то верно равенство:

               (3.3) 

Это равенство используется для перемены порядка интегрирования в повторном интеграле. Области более сложного вида следует разбить на части, к которым применимы формулы (3.1) или (3.2).

Следует обратить внимание на то, что если y внешнего интеграла пределы интегрирования всегда константы, то у внутреннего – функции внешней переменной.

Пример:  изменить порядок интегрирования в интеграле

В рассматриваемом примере следует начинать с построения области интегрирования, поскольку интегралы заданы с указанием порядка интегрирования и заданы пределы по соответствующим переменным. Напомним, что переменные пределы интегрирования внутреннего интеграла являются границами изменения х при фиксированном y. Поэтому область интегрирования  для первого интеграла при -1≤y≤0 находится между дугами параболы y = x²- 1, лежащими ниже оси Оx. Область интегрирования во втором интеграле при 0≤y≤3 ограничена кривыми

 x=- и x=2  , которые представляют собой дугу параболы  и   дугу окружности ,  лежащие выше оси Ox.

Пусть D=

Рис. 3.4                                                Рис.3.5

При перемене порядка интегрирования область D можно представить полностью находящейся в вертикальной полосе при -1 ≤ x ≤ 2. Сверху область интегрирования ограничена дугой окружности (верхний предел).

 

 

Снизу область интегрирования ограничена дугой параболы (нижний предел). Тогда двойной интеграл можно записать так:

 

 

Заметим, что перемена порядка интегрирования в повторном интеграле иногда существенно упрощает его вычисление.

 

Пример: вычислить интеграл  , где область D ограничена линиями:

 и y=0 (рис. 3. 5)

При каждом фиксированном значении y,  значение x меняется от  до x=(2-y)e. Как видно из рис.3.5, наиболее удобный порядок

 интегрирования

 

Вычислим внутренний интеграл

 

Интегрируя теперь функцию  по y в пределах от y=0 до y=1, получим

 

При вычислении интеграла

Используем формулу интегрирования«по частям»

Итак,  окончательно интеграл I=2ln2 – 0,5

Пример: изменить порядок интегрирования

В соответствии с представленными интегралами видим, что области  расположены в вертикальных полосках при 3  и при . Причем область  ограничена снизу гиперболой , а сверху прямой у = 3. Область  также ограничена снизу той же гиперболой , а сверху – прямой у = 10 – х.

  Точки:  А (3; 3)    

                                  Рис.3.6                                        B (7; 3), С(9,1)

  

Как видно из рис. 3.6 вся суммарная область D находится в горизонтальной полосе, поэтому целесообразно записать двойной интеграл в соответствии с формулой (3.2). Пределы интегрирования по у  от 1 до 3, левая граница – гипербола ,      правая граница – прямая ВС: x = 10 – y, т.е. 

 

I =

 

Пример: вычислить двойной интеграл

 

I =  f (x, y) = 3x-2;  а область D ограничена прямыми

х=0, х + у =3, у= 2х

Рис.3.7

Строим область интегрирования: x=0 – ось Оy, y=2x – прямая.

Угловые точки области: О (0; 0), A (0, 3), B (1,2)

D  

Вся область D находится в вертикальной полосе, т.е. целесообразно записать интеграл, согласно формуле (3.1).

Поэтому двойной интеграл запишется через повторный так:

I=