Формула для расчета t-критерия Стьюдента

ЛЕКЦИЯ 1

 t-критерий Стьюдента

Критерий Стьюдента (t -критерий) – параметрический критерий.

Назначение критерия Стьюдента – используется для проверки статистической значимости (достоверности) различий двух средних значений изучаемого психологического признака между двумя выборками (группами).

Описание критерия Стьюдента

Этот метод определяет влияние количественных различий средних арифметических значений и их влияние на качественные различия изучаемого психологического признака.

Критерий Стьюдента позволяет прямо оценить количественные различия в средних арифметических значениях изучаемого психологического признака между двумя выборками (группами).

В формулу расчета t-критерия Стьюдента включаются параметры распределения, то есть «измерение» и «разницы средних значений и их разброса».

Формула для расчета t-критерия Стьюдента

где  и  – средние арифметические значения изучаемого психологического признака в каждой выборке.

Расчет

Среднее арифметическое (оценка математического ожидания) вычисляется по формуле:

где x_i – каждое наблюдаемое значение психологического признака, количественно измеренного.

i – индекс, указывающий на порядковый номер данного значения психологического признака;

n – количество наблюдений;

 – знак суммирования.

М – оценка математического ожидания.

Расчет ошибки средней

Ошибка средней вычисляется по формуле:

где σ – стандартное отклонение или среднее квадратическое отклонение в данной выборке.

Оценка σ определяется по формуле:

где x_i – каждое наблюдаемое значение психологического признака;

 – среднее арифметическое значение признака;

n – количество наблюдений в выборке.

После расчета t-критерия Стьюдента необходимо это значение t сравнить с табличным значением t_кр (таблица «Критические значения t-критерия Стьюдента»), вычисленным по соответствующей степени свободы n, за которую принимается сумма объемов (количество испытуемых) двух сравниваемых выборок, уменьшенная на 2 единицы.

Формула для расчета степени свободы (n):

n=(n₁+ n₂)-2

По таблице «Критические значения t-критерия Стьюдента» находим значение t_кр. (по n) для уровня статистической значимости: p ≤ 0,05; p ≤ 0,01; p ≤ 0,001.

Делаем вывод.

Рассмотрим расчет критерия Стьюдента на конкретном примере.

По методике Л.И. Вансовской «Техника и беглость чтения» обследовано 2 группы школьников:

· n₁ = 11 испытуемых

· n₂ = 15 испытуемых

Задача: выявить статистическую значимость (достоверность) различий в средних арифметических значениях психологического признака «скорость чтения», полученных в двух группах испытуемых школьников.

Условие: 2 группы школьников:

· n₁ = 11 испытуемых

· n₂ = 15 испытуемых

Метод математической обработки – t-критерий Стьюдента (позволяет прямо оценить различия в средних, полученных в двух выборках).

Показатели скорости чтения (слов за минуту) по каждому испытуемому, и показатели для расчета t-критерия Стьюдента представлены в табл. 1.

Таблица 1

АЛГОРИТМ

ЛЕКЦИЯ 2

Способ применения таблицы

Номер колонки указывается в каком числе наблюдений имелся определенный признак, номер строки – какое общее число наблюдений; на пересечении колонки и строк приведен процент, который составляет число наблюдений с исследуемым признаком по отношению к общему числу наблюдений и средняя ошибка процента ().

Достоверность различий:

АЛГОРИТМ

Пример 1

По методике «Шкала оценки уровня реактивной и личностной тревожности» (Ч. Д. Спилбиргер, Ю. Л. Ханин) был изучен уровень личностной тревожности у стедентов-психологов двух групп: n₁ =30 и n₂ =30.

Интерпретация результатов уровня личностной тревожности у студентов-психологов в двух группах представлена в табл. 1.

Таблица 1

Уровень личностной тревожности у студентов-психологов в двух группах (n₁ =30; n₂ =30)

Как следует из таблицы, низкий уровень личностной тревожности одинаково часто встречается как у студентов-психологов первой, так и у второй групп (40% и 40%), умеренный – чаще в первой группе (50% и 20%) и высокий – чаще во второй группе (50% и 20%) и высокий – чаще во второй группе (40% и 10%).

Для установления достоверности различий умеренного и высокого уровня тревожности в двух группах студентов-психологов необходимо выбрать метод математической обработки полученных данных.

Задача: Выявить достоверность различия в уровне исследуемого психологического признака – личностная тревожность.

Условие: 2 выборки испытуемых (n₁ =30 и n₂ =30).

2 уровня (умеренный и высокий) личностной тревожности.

Метод математической обработки – метод характеристических интервалов, т.к. позволяет определить чувствительность (частоту) различных значений уровня личностной тревожности по P m.

Составляем таблицу для определения чувствительности (процент и его ошибка) каждой градации шкалы «умеренный и высокий уровень личностной тревожности» для каждой группы испытуемых (табл. 2).

Рассчитываем t для умеренного и высокого уровня личностной тревожности по формуле:

Таблица 2

Показатель личностной тревожности, в баллах	Первая группа (n1 = 30)		Вторая группа (n2 = 30)		t (p )
	число	% ошибка(P m)	число	% ошибка(P m)
умеренный (31-45)	15	50 9	6	20 7	2,63 (р <0,01)
высокий (46 и более)	3	10 6	12	40 9	2,78 (р <0,01)

t умеренный = = = = 2,63

t умеренный = 2,63 (р <0,01)

t высокий = = = = 2,78

t высокий = 2,78 (р <0,01)

Эмпирические значения t умеренный и t высокий превышают табличные значения (), значит принимается гипотеза Н₀.

Таким образом, умеренный уровень личностной тревожности достоверно чаще встречается в первой группе студентов-психологов (р <0,01), а высокий – во второй (р <0,01).

Пример 2

Для проведения психокоррекционной работы выбираем вторую группу студентов-психологов, где достоверно чаще (р <0,01) выявляется высокий уровень личностной тревожности.

Рассмотрим вариант 1: объект сопоставлений – одни и те же испытуемые до и после проведения психокоррекционной работы при отсутствии контрольной группы.

С 12 испытуемыми экспериментальной группы была проведена психокоррекционная работа, направленная на снижение уровня личностной тревоги. После проведения психокоррекционной работы 12 испытуемых были повторно протестированы по методике «Личностная шкала проявления тревоги».

Результаты полученных данных по данной группе испытуемых до и после проведения психокоррекционной работы представлены в табл. 3.

Рассчитываем t для каждой шкалы по формуле:

Таблица 3

ЛЕКЦИЯ 3

Формула 1.

Показатель степени (тесноты, силы) связи между двумя признаками в одной выборке (группе) испытуемых определяется по формуле линейного коэффициента корреляции:

где: x – индивидуальные показатели первого ряда признаков;

∑ x – сумма показателей первого ряда признаков;

у – индивидуальные показатели второго ряда признаков;

∑ у – сумма показателей второго ряда признаков;

ху – произведение показателей первого и второго ряда признаков;

∑ ху – сумма произведений показателей первого и второго ряда признаков;

х² – возведение в квадрат каждого показателя первого ряда признаков;

∑ х² – сумма квадратов показателей первого ряда признаков;

у² – возведение в квадрат каждого показателя второго ряда признаков;

∑ у² – сумма квадратов показателей второго ряда признаков;

n – количество испытуемых.

Формула 2.

Формула коэффициента линейной корреляции Пирсона:

x – отклонение каждого показателя первого признака от средней арифметической. xi – каждое наблюдаемое значение первого признака. Расчет  (Мх) – средней арифметической по формуле: х – каждое наблюдаемое значение первого признака; i – индекс, указывающий на его порядковый номер; n – количество наблюдений; ∑ – знак суммирования.

y – отклонение каждого показателя второго признака от средней арифметической. yi – каждое наблюдаемое значение второго признака. Расчет  (М y) – средней арифметической по формуле: y – каждое наблюдаемое значение второго признака; i – индекс, указывающий на его порядковый номер; n – количество наблюдений; ∑ – знак суммирования.

xy – произведение величины отклонений;

∑ xy – сумма произведений величины отклонений;

х² – возведение в квадрат отклонения каждого показателя первого признака и определение суммы (∑ х²);

у² – возведение в квадрат отклонения каждого показателя первого признака и определение суммы (∑ у²).

По таблице «Критические значения оценки коэффициента линейной корреляции r» находим r_кр. для данного n (количество испытуемых).

Сопоставляем полученное по одной из формул №1 или №2 эмпирическое значение r_эмп. с критическим значением r_кр. для данного n.

Рассмотрим применение коэффициента линейной корреляции К. Пирсона r на конкретных примерах.

Выборка из 60 испытуемых (30 пар) обследована по 2 методикам:

· первая – «Оценки способов реагирования в конфликте К.Н. Томаса, тест адаптирован Н.В. Гришиной»;

· вторая – «Тест-опросник удовлетворенности браком В.В. Столина, Т.Л. Романова, Г.П. Бутенко».

Результаты полученных данных по каждой методике представлены в сводных таблицах.

ЛЕКЦИЯ 4

 Q – критерий Розенбаума

Q-критерий Розенбаума относится к непараметрическим критериям.

       Назначение критерия. Q-критерий Розенбаума используется для оценки статической достоверности различий между двумя выборками по уровню какого-либо психологического признака, количественно (баллы, мм, см, и т.д.) измеренного.

       Количество испытуемых в каждой из выборок ≥ 11.

Показание для применения Q-критерия Розенбаума:

1. Диапазоны разброса значений в двух выборках не должны совпадать между собой.

2. Данные психологического исследования представлены в порядковой шкале, в которой должно быть не менее трех классов, например, «низкий», «средний», «высокий»

3. Данные психологических признаков должны быть достаточно точно измерены.

4. Упорядочить значение психологического признака в обеих выборках можно как по нарастанию, так и убыванию признака.

5. Первым рядом (выборкой, группой) считать тот ряд, где значения выше, а вторым рядом – тот, где значение ниже.

Пример.

У студентов экономического (n₁=14) и психологического(n₂=12) факультетов по методике «Шкала измерения интеллекта Д.Векслера» по суммам «сырых» оценок (отдельно вербальной и невербальной частей теста) к табличным данным были определены шкальные оценки IQ– вербального, IQ – невербального и общего IQ – показателей.

Полученные индивидуального значения IQ вербального, IQ невербального и общего IQ показателей по двум выборкам представлены в соответствующих психодиагностических таблицах.

       Выбор метода математической обработки рассмотрим на примере психологического признака – вербальный интеллект.

I. Условия:

1. Две выборки испытуемых:

n₁=14 студентов экономического факультета (n₁>11)

n₂=12 студентов психологического факультета (n₂ > 11)

2. Психологический показатель – IQ вербальный точно количественно измерен. Индивидуальные значения вербального интеллекта в выборках студентов экономического (n₁=14) и психологического (n₂=12) факультетов:

Таблица 1

Индивидуальные значения вербального интеллекта в выборках студентов экономического (n₁=14) и психологического (n2=12) факультетов

3. Диапазоны разброса значений вербально IQ в двух выборках не совпадают между собой: в группе студентов экономистов выше, чем в группе студентов психологов.

II. Задача: Выявить различия в уровне вербального интеллекта между студентами экономического и психологического факультетов.

III. Условия и задача соответствуют показанием для применения метода – Q -критерия Розенбаума.

АЛГОРИТМ

подсчета критерия Q -Розенбаума на конкретном примере

Пример