Расчета критерия теоретических значений частоты в предположении нормальности распределения

Расчет	Пример
I. Занести в таблицу номера i (столбец 1), и значения вариант xi (столбец 2) выборки	I. Таблица 3.22 (столбец 1,2)
II. Вычисляют нормируемые отклонения	II. Вычисляют нормируемые отклонения , где из предыдущих расчетов принимаем: , , т.е. для каждого значения xi  вычисляем  (столбец 3)
III. Определяем значения функции	III. По таблице 14 приложения устанавливаем значение функции  для каждого значения ti (столбец 4)
IV. Выравнивающие (теоретические) частоты рассчитывают по формуле: , где n – количество наблюдений (объем выборки); h – шаг, т.е. расстояние между соседними значениями Х (в распределении с равноотстающими значениями х i:	IV. Определяем шаг: h = 7 – 4 = 3. Учитываем, что n =100,  имеем: (столбец 5)
IV. Подсчитываем сумму теоретических частот по столбцу 5. Если гипотеза о нормальном распределении выполняется, по полученная сумма будет близка к числу наблюдений n:	Подсчитываем сумму теоретических частот по столбцу 5:

 

 

Построим на полигоне частот нормальную (теоретическую) кривую.

xi

ni, ni'

Проверим при уровне значимости  гипотезу относительно нормального распределения генеральной совокупности по критерию Пирсона.

а) Составим расчетную таблицу (4) из которой найдем наблюдаемое

.                                         (10)

Таблиця 17

Расчет критерия c² при сопоставлении эмпирических и теоретических значений случайной величины Х – количества заученных чисел в предположении нормальности распределения

1	2	3	4	5	6
i			fэ – fт	(fэ – fт)^2
1	3	4,7	-1,7	2,9	0,6
2	24	21,9	2,1	4,6	0,2
3	45	38,9	6,1	36,9	0,9
4	18	26,6	-8,5	72,3	2,7
5	8	6,9	1,1	1,2	0,2
6	2	0,7	1,3	1,7	2,5
Σ	100	99,6	0,4		7,2

 

По таблице 4 получим 7,2.

б) По таблице критических точек c², при уровни значимости  и числу степеней свободы  (тут m =6 – количество вариант) находим критическое значение c² критерия по таблице (табл. 3.24)

.

Учитывая, что  – гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности принимаем. То есть, эмпирические и теоретические частоты различаются не значимо.

 

Расчет критерия c² при сопоставлении эмпирических и теоретических значений случайной величины Х в предположении нормальности распределения с использованием табличного процессора MS Excel

Для упрощения подсчета числовых характеристик случайной величины, теоретических значений частот и эмпирического значения c² критерия удобно использовать встроенные функции табличного процессора MS Excel категории "Статистические".

Рабочий лист решения примера 3 приводится на рисунке 1., где в рамочках указаны расчетные формулы для вычисления.

Рис.1. Рабочий лист решения примера 3

· Здесьдля подсчета частоты, соответствующей варианте х₁ =4 установим курсор в ячейку В13, воспользуемся функцией СЧЁТЕСЛИ, в окне которой укажем диапазон $А$2:$ L $10, а в строке Условие – ссылку на ячейку, содержащую рассматриваемую варианту – В13 (рис 2). Нажав ОК, получим в ячейке В18 значение равное 3. Скопируем формулу методом "растягивания" на ячейки С13:G13.

Рис 2. Диалоговое окно функции СЧЕТЕСЛИ

· Найдем среднюю арифметическую , и стандартное отклонение s. Для этого используем статистические функции, соответственно: СРЗНАЧ, СТАНДОТКЛОН (рис. 3, 4)

Рис 3. Диалоговое окно функции СРЗНАЧ

Рис 4. Диалоговое окно функции СТАНДОТКЛОН

Для расчета теоретических значений частот (выравнивающих частот) в предположении нормальности распределения случайной величины строим расчетную таблицу, в которую копируем столбцы x_i и f_эмп. Для этого выделяем соответствующие строки А12:G13 статистического распределения выборки, устанавливаем курсор в ячейку В23 и выполняем команду: ПРАВКА/Специальная вставка..., ставим "галочку" в окошке опции Транспонировать, нажимаем ОК. При этом скопированные данные из горизонтального массива преобразуются в вертикальный.

Для подсчета значений нормальной функции распределения в MS Excel нет необходимости предварительно рассчитывать нормируемые отклонения t_i, встроенная статистическая функция НОРМРАСП сделает это автоматически.

Устанавливаем курсор в ячейку D24, вызываем диалоговое окно функции НОРМРАСП из категории "Статистические", ссылаемся на первое значение Х в ячейке В24, среднее арифметическое F18 и стандартное отклонение F19 (для создания абсолютной ссылки нажимаем функциональную клавишу F4), в последнем поле впечатываем слово "ЛОЖЬ". Нажимаем ОК. Затем протягиваем формулу на ячейки D25:D29.

 

Рис 5. Диалоговое окно функции НОРМРАСП

 

Подсчитываем теоретические значения частот по формуле , при этом считаем, что аргументы нормированны, т.е. s =1, значит ссылаться на s не нужно. В ячейке Е24 вводим формулу =$D$16*$B$17*D24. Затем протягиваем ее на весь столбец.

С помощью кнопки S суммирует данные последнего столбика и убеждаемся, что полученная сумма близка к объему выборки, т.е., к 100.

Следующую таблицу просчитываем с помощью элементарных формул.

Таблица 3. 6

Значения функции