Выбор пороговых значений диагностических параметров

Прежде чем приступить к обсуждению результатов сформулируем ещё раз условия вероятностно-статистических методов принятия решений при определении граничного значения x ₀:

- метод минимального риска – добиваемся минимума среднего риска;

- метод минимального числа ошибочных решений – стоимости пропуска дефекта и ложной тревоги одинаковы;

- метод наибольшего правдоподобия – стоимость и вероятность пропуска дефекта приблизительно равны стоимости и вероятности ложной тревоги;

- метод минимакса – величина риска становится минимальной среди максимальных значений, вызванных «неблагоприятной» величиной P_i;

- метод Неймана-Пирсона – минимизируется вероятность пропуска дефекта при заданном допустимом уровне вероятности ложной тревоги.

Итак, диагностика механизма осуществляется по температуре подшипниковых узлов. Установлено, что для исправного состояния среднее значение подшипникового узла составляет =50°C и среднее квадратичное отклонение σ ₁=15°C. При наличии повышенного износа =100°C, σ ₂=25°C. Распределения предполагаются нормальными.

Определить предельное значение t ₀= x ₀, рассчитать вероятность ложной тревоги, вероятность пропуска дефекта и средний риск

, , , .

Решение задачи осуществлено различными методами и результаты расчётов приведены в таблице 14.1.

Самое высокое граничное значение температуры было определено методом минимального числа ошибочных решений и составило x ₀ = 83,325°C, при этом вероятность ложной тревоги составляет Р_ЛТ = 0,011, вероятность пропуска дефекта Р_ПД = 0,038, а средний риск пропуска дефекта составляет R = – 0,237 C ₂₁. Минимальное значение температуры x ₀ = 57,74°C определено методом минимакса при вероятности ложной тревоги Р_ЛТ = 0,211, вероятности пропуска дефекта Р_ПД = 0,014 и среднем риске пропуска дефекта
R = – 0,045 C ₂₁.

Минимальная величина вероятности ложной тревоги составляет Р_ЛТ = 0,011, при использовании метода минимального числа ошибочных решений при Р_ПД = 0,038, R = 0,237 С ₂₁, и метода минимакса при С ₁₂= С ₂₁=1 и Р_ПД = 0,066, R = 0,106 С ₂₁.

Минимальная величина вероятности пропуска дефекта Р_ПД = 0,011 (Р_ЛТ = 0,15, R = – 0,115 С ₂₁) получена при использовании метода Неймана-Пирсона и Р_ПД = 0,013 метода минимального риска (Р_ЛТ = 0,126, R = – 0,119 С ₂₁).

Наименьшую величину среднего риска R = – 0,64 С ₂₁ даёт метод наибольшего правдоподобия, при этом Р_ЛТ = 0,057, Р_ПД =0,02.

Таблица 14.1

Результаты расчётов

Метод	Граничное значение температуры, x 0	Вероятность ложной тревоги, Р лт	Вероятность пропуска дефекта, Р пд	Средний риск, R
Минимального риска	65,698 °C	0,126	0,013	– 0,119С21
Минимального числа ошибочных решений	83,325°C	0,011	0,038	0,237С21
Наибольшего  правдоподобия	72,436°C	0,057	0,02	– 0,640С21
Минимакса С 12=20 С 21                 С 12= С 21=1	57,74°C	0,211	0,014	– 0,045С21
	68,75°C	0,0396	0,066	0,106С21
Неймана-Пирсона	63,933°C	0,15	0,011	– 0,115С21

 

Задания для практических работ

В каждой задаче определить предельную величину параметра, имеющего нормальный закон распределения вероятностей для каждого состояния, следующими методами:

1. Методом минимального риска.

2. Методом минимального числа ошибочных решений.

3. Методом наибольшего правдоподобия.

4. Методом минимакса.

5. Методом Неймана–Пирсона.

Рассчитать для всех методов вероятность ложной тревоги, пропуска дефекта и средний риск. Результаты свести в таблицу. Построить кривые плотности вероятности исправного и неисправного состояний с учётом критериев отношения правдоподобия и функцию, минимум которой определяет граничное значение x ₀, отметить точку предельного параметра x ₀.

Содержание отчёта

1. Название расчёта, задача и номер варианта;

2. Расчётные формулы с пояснительным текстом;

3. Расчётные формулы с численными значениями;

4. Выводы по работе.

Задача № 1

Диагностика газотурбинного двигателя осуществляется по содержанию железа в масле. Установлено, что для исправного состояния среднее значение содержания железа составляет = 10 (10 г на 1 т) и среднее квадратичное отклонение σ ₁ = 3. При наличии дефекта подшипников и других деталей (неисправное состояние) эти значения равны = 20, σ ₂ = 5.

Задача № 2

Диагностика центробежного насоса осуществляется по общему уровню вибрации его корпуса. Установлено, что для исправного состояния среднее значение вибрации составляет = 20 мм/с и среднее квадратичное отклонение σ ₁ = 7 мм/с. При наличии дефекта, где = 45 мм/с, σ ₂ = 12 мм/с.

Задача № 3

Диагностика центробежного насоса осуществляется по температуре подшипниковых узлов. Установлено, что для исправного состояния среднее значение x ₀ подшипникового узла составляет = 50°C и среднее квадратичное отклонение σ ₁ = 15°С. При наличии повышенного износа – = 100°C, σ ₂ = 25°C.

Задача № 4

Диагностика газотурбинного двигателя осуществляется по температуре за турбиной. Для исправного состояния характерна следующая средняя температура и среднее квадратичное отклонение: = 450°C, σ ₁ = 45°C. При неисправном состоянии – = 600°C, σ ₂ = 50°C.

Задача № 5

Диагностика технического состояния шлифовального круга станка производится по амплитуде вибрации на частоте вращения. В случае исправного состояния среднее значение вибрации на частоте вращения и среднее квадратичное отклонение составляют = 10 м/с², σ ₁ = 1 м/с². По мере изнашивания круга вибрация увеличивается. Для предельно изношенного круга характерны = 15 м/с², σ ₂ = 1,5 м/с². Определить граничное значение вибрации x ₀ (при превышении которого шлифовальный круг необходимо заменить) разными методами. Старые = 1,0 м/с², σ ₁ = 0,2 м/с². = 1,5 м/с², σ ₂ = 0,1 м/с²

Задача № 6

Диагностика электродвигателя осуществляется по температуре подшипниковых узлов. Установлено, что для исправного состояния среднее значение подшипникового узла составляет = 60°C и среднее квадратичное отклонение σ ₁ = 10°С. При наличии повышенного износа – = 100°C, σ ₂ = 20°C.