Метод последовательного анализа

Метод последовательного анализа был предложен А. Вальдом [5, 6, 10, 11]. В отличие от процедур метода Байеса число обследований или испытаний заранее не устанавливается, их проводится столько, сколько необходимо для принятия решения с определённой степенью риска.

Основное отличие метода последовательного анализа, разработанного А. Вальдом [5, 6, 10, 11, 13, 14], от метода фиксированного объёма состоит в том, что количество испытаний, необходимое для вынесения решения о принятии или отклонении гипотезы H ₀, не определяется заранее, а является случайной величиной, зависящей от исхода самих испытаний.

Метод Вальда реализует максиминный критерий. Выбранные этим методом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение по данному варианту не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он был ориентирован.

Выбор критической области при последовательном анализе проводят на основе анализа отношения правдоподобия, причём анализ этого отношения производят на каждом шаге испытания в отличие от метода фиксированного объёма.

Принципы выбора критической области были сформулированы Нейманом и Пирсоном, поэтому критерий отношения правдоподобия называют критерием Неймана-Пирсона. Этот критерий предполагает, что вид распределения вероятностей известен, однако неизвестно значение параметра θ. На основе выборки x ₁, x ₂, …, x_n из n независимых наблюдений необходимо проверить гипотезу о том, что неизвестный параметр θ = θ ₀, но не θ = θ ₁, как предполагается в противоположной гипотезе.

Проверяемую гипотезу H ₀ обычно называют нулевой, а противоположную гипотезу H ₁ – конкурирующей. Гипотезы H ₀ и H ₁ называют простыми, если соответствующие им подмножества содержат только по одной точке θ ₀ и θ ₁.

Нейманом и Пирсоном показано, что, принимая или отклоняя гипотезу H ₀, можно совершить ошибки двух родов: отклонить гипотезу H ₀, когда она верна, т.е. θ = θ ₀, или принять гипотезу H ₀, когда, в действительности, верна противоположная ей гипотеза H ₁, т.е. θ = θ ₁.

Вероятность отклонить по выборочным данным гипотезу H ₀, когда она верна, называют ошибкой первого рода (риском поставщика или ложной тревоги) и обозначают её через α. Вероятность принять по выборочным данным гипотезу H ₀, когда на самом деле верна гипотеза H ₁, называют ошибкой второго рода (риском заказчика или пропуска цели) и обозначают её через β.

Нейман и Пирсон показали, что при заданном значении α из всего множества областей можно выбрать такую критическую область, для которой вероятность β будет минимальной.

При таком подходе α называют уровнем критической области, а (1 – β) – мощностью критической области. Отсюда следует, что при фиксированном объёме выборки n можно произвольно выбрать только одну из величин – α или β.

Критерий отношения правдоподобия в общем виде математически записывают в следующем виде

.

(2.1)

где f (x _i,θ _n) – плотность распределения случайной величины X при любом значении параметра θ; если θ _n – параметр распределения, например, наработка на отказ, то θ ₁ и θ ₀ – соответственно допустимое и заданное значения наработки на отказ; U _α – квантиль функции нормального распределения, определяемая соотношением

,

здесь Ф(U_α) – функция, обратная функции нормального распределения.

Если по результатам испытаний окажется, что

,

(2.2)

то испытания заканчивают принятием изделия.

Если отношение правдоподобия соответствует неравенству

,

(2.3)

то изделие не принимают. В случае, если отношение правдоподобия удовлетворяет условию

,

(2.4)

то испытания продолжают.

На практике более удобным является вычисление логарифма отношения правдоподобия. В этом случае условия испытаний записывают следующим образом:

продолжение испытаний

;

(2.5)

непринятие изделия

;

(2.6)

принятие изделия

.

(2.7)

В случаях, когда большую роль играет время наблюдения за процессом, например при наличии нескольких каналов и одного обнаружителя или круговом обзоре радиолокационной станции, применяют критерий последовательной проверки гипотез Вальда также известный под названием двухпороговый. По этому критерию область определения вероятности делится на три подобласти, разделяемыми двумя порогами, определяемыми вероятностями правильного обнаружения и ложной тревоги. Критерий Вальда является оптимальным в смысле минимизации среднего времени наблюдения по большому количеству экспериментов.

При использовании метода Байеса для распознавания состояний D ₁и D ₂следует составить отношение (для независимых признаков):

.

(2.8)

Если

, или ,

(2.9)

то принимается решение .

В методе последовательного анализа отношения вероятностей (отношения правдоподобия) составляются последовательно.

Допустим, что объект К^* имеет признак К ₁, причём он при диагнозе D ₂ встречается чаще, чем при диагнозе D ₁. При этом, если

, то ,

(2.10)

где А – верхняя граница принятия решения/

Отношение вероятностей  называют отношением правдоподобия. Здесь B – нижняя граница принятия решения.

Если в результате первой проверки данное условие выполняется, то необходима следующая проверка, тогда отношение правдоподобия:

,

(2.11)

расчёты повторяются до тех пор, пока значение отношения не выйдет за одну из указанных границ (А или В).

Для сокращения объёма обследований следует вначале проводить обследование по наиболее информативным признакам.