Метод минимального числа ошибочных решений

При использовании метода минимального числа ошибочных решений или алгоритма максимальной апостериорной вероятности [20, с.329] будем исходить из того, что вероятность ошибочного решения складывается из вероятностей ложной тревоги и пропуска дефекта

(10.1)

Из условия экстремума этой вероятности получаем

(10.2)

Условие минимума даёт

(10.3)

или

.

(10.4)

Для одномодальных распределений неравенство (10.4) выполняется, и минимум вероятности ошибочного решения получается из соотношения (10.2)

,

(10.5)

где, как и раньше, P ₁ =P (D ₁), P ₂ =P (D ₂) – априорные вероятности диагнозов.

Решение  принимается при

(10.6)

и   – при

.

(10.7)

Очевидно, что соотношения (10.5), (10.6), (10.7) являются частным случаем условия минимального риска, если стоимости решений одинаковы. Условия выбора граничного значения (10.5) часто называется условием Зигерта-Котельникова (условием идеального наблюдателя). К этому условию приводит также метод Байеса. Действительно, если вероятности диагнозов D ₁и D ₂для данного значения x (апостериорные вероятности) есть

; ,

то решение  принимается при

или

,

(10.8)

что совпадает с равенством (10.6).

Алгоритм максимальной апостериорной вероятности минимизирует априорную вероятность ошибок. Другими словами, этот алгоритм в течение длительной последовательности принятия решений обеспечивает максимальную частоту правильных решений.

В задачах надёжности рассматриваемый метод часто даёт «неосторожные решения», так как последствия ошибочных решений существенно различаются между собой. Обычно цена пропуска дефекта существенно выше цены ложной тревоги. Если указанные стоимости приблизительно одинаковы (для дефектов с ограниченными последствиями, для некоторых задач контроля и др.), то применение метода вполне оправдано.

Пример

Задача. Диагностика механизма осуществляется по температуре подшипниковых узлов. Установлено, что для исправного состояния среднее значениеподшипникового узла составляет =50°C и среднее квадратичное отклонение σ ₁=15°C. При наличии повышенного износа =100°C, σ ₂=25°C. Распределения предполагаются нормальными.

Определить предельное значение x ₀, рассчитать вероятность ложной тревоги, вероятность пропуска дефекта и средний риск

, , , .

Решение. Так как сумма вероятностей исправного и неисправного состояний равна единице, то

.

По методу минимального числа ошибочных решений при х = х ₀:

,

тогда получим:

,

где плотности вероятности распределений равны:

,

.

Подставив полученные плотности распределений в формулу выше, получим квадратное уравнение относительно х = х ₀:

.

Подставим известные значения и решим уравнение.

.

Это уравнение имеет положительный корень x ₀ = 83,325°C.

Проведём проверку:

,

,

.

Теперь найдём вероятность ложной тревоги и пропуска дефекта:

,

.

Далее найдём средний риск по формуле (9.1):

На рис. 10.1 приведены графики функций плотности вероятности, а также функция риска P _ош (x): Рис. 10.1

 

Рис. 10.1. Плотности распределения вероятностей с учётом априорных вероятностей и функция вероятности ошибочного принятия решения P _ош (x)

 

Выводы.

В результате расчёта по методу минимального риска получили предельное значение диагностического параметра x ₀ = 83,32°C, выше которого исследуемый объект подлежит снятию с эксплуатации. При этом вероятность ложной тревоги составляет Р_ЛТ = 0,0112, вероятность пропуска дефекта Р_ПД = 0,0379. Найдена величина среднего риска, которая составляет R = 0,237 C ₂₁.

Контрольные вопросы

1. Каков критерий метода минимально числа ошибочных решений?

2. Каким образом осуществляется расчёт предельного значения?

3. Каким образом учитываются стоимости?

4. Каким образом учитываются априорные вероятности?