Конечно-разностные аппроксимации производных.

Пусть отрезок [а,b] разбит на n (n 2) равных частей.

Производные можно записывать с помощью конечных разностей:

а) разностей вперед:                                      ;  

                                        (i=0,1,….,n-1)                                       (1) 

в) разностей назад (левые разности):     ;    (2)

c) центральных разностей:                ;

Приближенное значение производной второго порядка в точке х_i:

,

;     

Т.о                                                  i=1,2,…..n-1                 (3)

Погрешность аппроксимации (3) имеет порядок 0 ().

3. Использования интерполяционных многочленов Лагранжа для формул численного дифференцирования.

Функция у=f(x)  на отрезке [a,b] разбитых на n равных интервалов, принимает значение в точках {x_i} (i=0,1,2….k)

y_i=f(x_i); b=x_n; h=x_i-x_i-1=const.

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа L_m(x) степень M:

L_m(x)=f(x _k)=y _k     (k=i,i+1,….,i+m) i+m n.

Многочлен L_m(x) интерполирует функцию f(x) на отрезке [x_i,x_i+m].

Дифференцируя L_m(x), получаем значение производных в точках {x_k} (k=i,i+1,…,i+m).

(Можно получить значения и в точках,отличных от узлов.)

Если m=1, то L₁(x)-линейная функция, график которой проходит через точки (х_i,y_i) и (х_i+1,y_i+1). Тогда

L₁(x)=   ; L₁’(x)=

Если m=2,  то график L₂(x) – парабола, проходящая через точки (х_i,y_i), (х_i+1,y_i+1), (х_i+2,y_i+2).

L₂(x)=

L₂’(x)=       (1)

 

L₂”(x)=                                                                                                      (2)

 

Подставляя в (1) и (2) значения х, равные х_i,x_i+1,x_i+2:

Получим приближения производных f’(x) и f”(x) в этоих точках:

учитывая, что ;

                                                                               (3)

                                                               (4)

Если функция f(x) имеет непрерывную производную до 3-го порядка включительно,то

;  

f(x) = L₂(x)+ R₂(x),                                                                                                                 (5)

где R₂(x)- остаточный член интерполяционной формулы.

R₂(x)=              

       Дифференцируя (5),получим

f’(x) = L’₂(x)+ R’₂(x)                                                                                                              (6)

f”(x) = L”₂(x)+ R”₂(x)                                                                                                             (7)

Здесь,

 R’₂(x)= ;        (8)

           Т.к. f”’()=const –дифференцируем по х.

R”₂(x)= ;        

В точках х_i,x_i+1,x_i+2 (т.е. в узлах) получаем (подставляя значения х_i и т.д. в (8)-(9) и учитывая х_i-x_i+1=-h):

R’₂(x_i)=                                                                       (10)

R”₂(x_i)= ,        ,  =                               (11)    

Т.о. равенства (10) показывают, что погрешность аппроксимации первой производной f’(x) с помощью формулы (3) имеет один и тот же порядок 0(h²). (во всех трех точках.) 

На отрезке [a,b] в точках х_i (i=0,1,2…,n) при n 2 рекомендуется применять следующие формулы:

i=0;

(i=1,2,…,n-1);                                                                                 (12)

i=n;

Погрешность аппроксимации второй производной имеет различный порядок в различных точках.(равенство(11)).Поэтому рекомендуется использовать многочлен Лагранжа третьей степени L³(x), имеющей 4 точки (узла) интерполяции. При этом погрешность во всех точках имеет один порядок h².

Рекомендуется формулы:

  i=0;

                   (i=1,2,….,n-1);

  i=n;

Пример:

Значение функции y=sin x заданы таблицей

 

x	0	П/6	П/3
sinx	0	0.5	0.866

 

Найти значения и  и оценить погрешности вычислений.

Решение:

По формулам (3) или (12) получаем:

;

По формуле (10):              0< <

Т.к f(x)=sin x, то f”’(x)=-cos x.

 

.               Т.о. y’₀ 1.05 0.09

 

По формуле (4)

 

 

По формуле (11):     получаем

Т.о. y’₀ -0.489 0.52. Точность явно низкая.

y”₀=sin0=0

 

Следовало бы уменьшить шаг и увеличить число шагов. Затем использовать полином Лагранжа 4-ой степени и формулы (13).

 

Блок-схема вычисления производной.

 

 

ЛЕКЦИЯ 12

Численное интегрирование.

S= .Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей.

Обозначим:

Заменим y=f(x) …… кусочно-полиномиальной функцией S(x) аппроксимирующей данную функцию. Интегрируя S(x) на отрезке [a,b], получим формулу численного интегрирования – квадратную формулу.

1)если на каждом интервале [ ] (i=1,2,…,n.) заменим f(x) ступенчатой функцией

f(x)  S(x) = ,                        

где  - середина интервала

тогда            т.к 

и получаем квадратурную формулу прямоугольников:

                                          (1)

2)Если f(x) на каждом отрезке [ ] заменить её на линейной интерполяции по точкам , то получим

              i=1,…,n

                   i=1,2,…..,n

Действительно:

(т.к. ) =

Т.о. получаем квадратурную формулу трапеций:

                                              (2)

3) Если …. S(x), определяет собой непрерывную функцию, составленную из примыкающих парабол, можно получить квадратурную формулу Симпсона, или формулу парабол.

Пусть на отрезке [ ] парабола проходит через точки (),(),(). Строим интерполяционный многочлен Лагранжа второго порядка:

 (в знаменателе(первый шаг): )

                                                                                              i=1,2,….,n

Введем новую переменную t: t = ;

Тогда ; ;

Значениям t= 0, 1/2, 1 соответствуют значения х,равные .

 и т.д.

 

Выразим S(x) через новую переменную t:

 

S(x)= =

=                              (i=1,2,….,n)

Рассмотрим, например, 1-ый член

Т.к.    , а   , получаем:

=

Далее, учитывая, что  , получаем:

Т.о. имеем квадратурную формулу парабол:

                     (3)

Погрешность каждой квадратичной формулы оценивается величиной остаточного члена R(h), зависящего от шага разбиения h (или от числа разбиений n):

Если f(x) имеет непрерывную производную второго порядка, то получаем:

Для формулы трапеций

Если f(x) имеет непрерывную производную 4-го порядка, то оценка погрешности формулы Симпсона:

 

Пример:

Найти приближенное значение интеграла  с помощью квадратурных формул прямоугольников, трапеций и Симпсона, если отрезок интегрирования [0,1] разбит на  n =2; 4;10 равных частей. Оценить величину погрешности полученных результатов.

Решение:

Погрешность .

Находим производные f(x):

; ; ;

;

При n=4 получим:

;

 

(в 200 раз точнее)

Результаты сведены в таблицу:

формула	n=2		n=4		n=10
	Y (2)		Y (4)		Y (10)
прямоугольник	1.40977	0.1699	1.44875	0.0425	1.46039	0.0068
трапеция	1.57158	0.3398	1.49068	0.085	1.46717	0.0136
Симпсона	1.46371	0.0045	1.46272	0.0003	1.46265

 

Метод двойного пересчета

Позволяет оценить текущую оценку точности  по той или иной квадратурной формуле:

1.проводится вычисления с шагом h и получается (h).

2.шаг h уменьшается вдвое и получается (h/2).

3.используется правило Рунге:

 ,            где Y- точное значение интеграла

K=2 –прямоугольников и трапеции

К=4- для формулы Симпсона

При заданной точности  вычисления проводят до окончания приближений при выполнении условия:
 

при этом полагают