Ортогональные на промежутке системы функций

 

Если , при m<>n,

То - система ф-ий, ортогональных (1) на [a,b]

- норма ф-ий  на [a,b]

Если нормы всех ф-ий системы (1) равны единицы, то это система называется ортонормированной.

Для ортонормированных систем

Чтобы любую систему, не содержащую функцийй с нулевой нормой, пронормировать, необходимо каждую функцию разделить на ее норму:

Если система ф-ий  ортогональна на отрезке [a,b], то коэффициенты  обобщенного полинома

, аппроксимирующего непрерывную ф-ию f(x)на [a,b]

Имеют вид:

 

(2)
-коэфф. Фурье ф-ии f(x) относительно заданной ортогональной системы .

Обобщенный полином с коэффициентом Фурье данной ф-ии обладает наименьшим квадратичным отклонением от этой ф-ии по сравнению со всеми другими обобщенными полиномами того же порядка m.

 

(3)

После преобразований (раскрывая скобки, меняя местами и и приводя подобные члены) получим(без вывода):

(4)

    (5)     

Из (3) следует, что , потому из (5) получаем:

                   (6) –неравенство Бесселя

При m  ∞

                  (7)

 

Если система -ортонормированная, то   (8)

Если , то система  наз. ПОЛНОЙ.

Для полной ортонормированной системы имеет место равенство Парсеваля

                    (9)

Свойства обобщенного полинома  с коэффициентами Фурье:

1. при увеличении числа слагаемых m младшие коэффициенты  остаются неизменными, т.е. при добавлении новых членов прежние коэффициенты не пересчитываются (это следует (2)).

2. при увеличении m квадратичная погрешность монотонно убывает в широком смысле, т.е. Т.о. присоединение новых слагаемых увеличивает точность аппроксимации.

 

4.2. Основные понятия гармонического анализа.

Тригонометрическая система функций:

1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x,…, sin nx, cos nx  (1)

ортогональна на любом отрезке длины 2π (напрмер, на [-π, π]).

Нормы функций системы (1)

  

            n=1,2….  (2)

Пусть дана непрерывная периодическая функция с периодом 2π (введением новой переменной можно область определения функции [a, b] перевести в интервал [-π,π])

Составим тригонометрический полином

       (3)

Слагаемые       k=1,2…, называются гармонитами.

Чтобы минимизировать

min

Коэффициенты , ,  должны быть коэффициентами Фурье функции f(х) относительно системы (1)

т.е.                

Т.о. получаем:

            (4)

      (k=0,1,2,…m)

Полином (3) – тригонометрический полином Фурье;

,  - тригонометрические коэффициенты Фурье функции f(х).

Если f(х) четная, то

(k=1,2,…,m) 

     k=0,1,2…m                                 (5)             

Если f(х) нечетная, то

   (k=0,1,2,…,m)

(k=1,2,…,m)                                    (6)

Для четной функции

                 

-

                 

При m→∞ получаем тригонометрический ряд Фурье

                 

Представленные функции тригонометрическим полиномом Фурье или тригонометрическим рядом Фурье называется гармоническим анализом.

В простейших случаях коэффициенты тригонометрического полинома Фурье вычисляются непосредственно по формулам (4)

Среднеквадратическое отклонение  определено как

,

в общем случае функция  задана на интервале .