Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами.
Определение. Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a,∞) и существует предел интеграла как функции верхнего предела интегрирования: (1) х→∞ Тогда этот предел называется несобственным интегралом f(x) на промежутке [a,∞) обозначают так:
Если предел (1) существует, то несобственный интеграл сходиться на промежутке [а, ∞). (2) Интеграл f(x) сходиться на [ a, ∞), если для любого ε >0, существует число в такое что (3) Значение с точностью ε Пример: Дан сходящийся несобственный интеграл Используя условие (2) аппроксимировать его определенным интегралом с точностью ε. Осуществить замену переменной интегрирования так, чтобы верхний предел b был равен а+10. Замена переменной имеет смысл, если условия (3) дает большой отрезок интегрирования! Решение: Т.к. f(x)>0, то условия (3) принимает вид ∞ ∞ Имеем = - = b b Отсюда b> (4) В качестве b берем наименьшее целое, удовлетворяющее (4). Если а=с=1, р=2,ε=0.001, то b >1000 1001 То = 1 - 1 Точное значение Погрешность не превышает Вычислять интеграл приближенным (численными) методами сложно, т.к. b>>a. Сделаем преобразование: x = tm; ; ;
Показатель степени m полагаем равным ближайшему целому числу, не меньшему чем m=lg b/lg b1 Нашем случае b=1001; b1 = a+10 = 11 m = lg 1001/lg 11 ≈ 3 11 Сделав замену переменной x = t3, получаем = Рассмотренный интеграл можно считать эталонным, для многих интегралов. Рассмотрим, как используются эталонные интегралы на примере абсолютно сходящихся интегралов.
Не собственный интеграл функции на называется абсолютно сходящимся, если несобственный интеграл абсолютной величины функции на этом промежутке. 1. Если для всех если функция эквивалентна при и интеграл сходится, то сходится и интеграл . Условие (1) дает возможность использовать в неравенстве (3) упрощенные подынтегральные функции вместо заданных.
Пример. Дан несобственный интеграл.
Аппроксимировать его определенным интегралом с точностью, не меньшей чем Е=0,001
Решение. 1. Упростим подынтегральную функцию.
Воспользуемся неравенством (3) для оценки величины в:
Из рассмотренного ниже примера: b=1001; b1=11 при замене . Тогда: , с точностью не меньшей чем 0,001. Приближенное значение несобственных интегралов от функции с бесконечным разрывом. Пусть функция непрерывна на промежутке и предел функции при x, стремящемся к b, равен бесконечности, т.е. не существует. (1) Если предел существует, то интеграл несобственный. Несобственный интеграл функции, имеющий бесконечный разрыв в некоторой внутренней точке определяют на , как сумму сходящихся интегралов на отрезках . Несобственные интегралы с бесконечным разрывом подынтегральной функции на отрезке интегрирования с помощью замены переменной интегрирования преобразуют к несобственным интегралам с бесконечными пределами. Пример. Дан собственный интеграл . С помощью замены переменой преобразовать его в несобственный интеграл с бесконечным пределом. функция не определена в точке x=0 (нижний предел интегрирования). Проведем замену так, чтобы особой точке соответствовала бесконечно удаленная. Простейшая замена: при Тогда: Для интеграла можно получить его приближение (аналогично рассмотренному выше) на отрезке с заданной точностью. (последующее преобразование уменьшает интервал интегрирования до ) ЛЕКЦИЯ 15
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-03-09; просмотров: 97; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.14.15.94 (0.007 с.) |