Блок-схема вычисления определенного интеграла методом двойного пересчета по формуле Симпсона.

 

 

 

ЛЕКЦИЯ 13

Численное интегрирование (продолжение)

Квадратурные формулы Гаусса

Пусть отрезок интегрирования  непрерывной функции f(x) разбит на n равных частей точками . Шаг разбиения . Пусть - функция аппроксимирующая подынтегральная функцию f(x).

На каждом из интервалов  расположено m узлов , в которых . Пусть  - многочлен степени р, такой что  

а)      ; ;

б) Определенный интеграл от функции  на отрезке  выражается через значение подынтегральной функции  в узлах в виде их линейной комбинации т.е.

    (1)

Так чтобы для выбранной степени р сплайна построить квадратурные формулы Гаусса, необходимо найти из условий а) и б)    2m   неизвестных:

m неизвестных коэффициентов

                                            m координат узлов  ()

Будем решать задачу одновременно для всех участков . Для этого введем новую переменную t, общую для всех интервалов.

Тогда: , и

И при      т.о.  

 

Положим:

Тогда:

и (1) примет вид:

               (2)

Теперь рассмотрим квадратную формулу Гаусса с тремя узлами (m=3). При этом необходимо определить шесть величин:

Функция -многочлен степени р.

                                   (3)

Подставим (3) в (2). Учитывая, что   получим тождество относительно коэффициентов

В общем случае степень аппроксимирующего полинома равна: p=2m-1, где m-число узлов.

Для трех узлов имеем р=5, т.е. многочлен пятой степени. Коэффициенты при  вычисляем из левой части (4)

                (5)

Приравнивая коэффициенты при   в правой и левых частях и учитывая (5), получим шесть уравнений:

                                   (6)

Решение системы (6) – нелинейной системы найти очень сложно!

Однако оказывается, что неизвестное  в уравнениях (6) совпадают с нулями многочлена Лежандра:

                                                                 (7)

Нули многочлена (7) принадлежат интервалу  и расположены симметрично середины интервала.

В нашем случае m=3:

т.о.

Корни (нули) уравнения  находим из:

Т.о. найдены значения   системы (6)

Значения  находим, подставляя  в (6)

Решение системы:

Подставим найденные значения в (1):

 находим из

 находим с учетом соотношения:

Т.о.

Для  получаем:

Т.о.

Итак, квадратичная формула Гаусса с тремя узлами имеет вид:

Где

Если  имеет непрерывность производной до шестого прядка, то для оценки погрешности формулы Гаусса с тремя узлами можно использовать неравенство:

При вычислении интеграла до достижения заданной точки Е методом двойного перечета,

условие окончаний вычисления имеет вид:

Где k=2m, m-число узлов.

При этом полагают, что    

 с точностью Е

Пример: Найти приближенное значение интеграла  по квадратной формуле Гаусса с тремя узлами для n=1, т.е. без разбиения отрезка   на части (n=1)

Оценить погрешность вычислений.

Решение. Ищем:

R(h)

                 а ≤ х ≤ в

С погрешностью не больше чем 0,0019<0,002 имеем

Здесь х₂ = 0,5;                                               f(x₂) = 1.284025

     x₁ = x₂ -                     f(x₁) = 1.012783

     x₃ = x₂ -                     f(x₁) = 2.19745

 

Для достижения точности того же порядка с использованием: формулы Симпсона n=2 (ε=0,0045)

формулы прямоугольников n=10 (0,0068)

 

ЛЕКЦИЯ 14