Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Численные методы безусловной оптимизации.⇐ ПредыдущаяСтр 17 из 17
I. Необходимые и достаточные условия экстремума в задачах безусловной оптимизации. Пусть будет задано множество и функция определенная на этом множестве. ( - линейное, n – мерное пространство) Точка называется точкой локального минимума функции на множестве х, если существует шар такой, что для любого выполняется неравенство: (1) Если неравенство выполняется как строгое (при ), то говорят, что - точка строгого локального минимума. Точка называется точкой глобального минимума функции на множестве х, если неравенство (1) выполняется для любого . Аналогично определяются точки локального и глобального максимума на множестве х. Точки локального минимума и максимума функции называют точками экстремума этой функции. Задача отыскания всех локальных минимумов (max) функции , если множество х совпадает со всем n-мерным пространством, т.е. , называют задачей безусловной оптимизации, а функция - целевой функцией. Задачи оптимизации: (2) (3) Задача (3) эквивалентна задаче Теорема 1. Пусть х* - точка локального минимума функции , которая имеет в этой точке непрерывные частые производные , тогда частные производные функции в этой точке равны нулю, т.е. Иначе говоря, в точке экстремума градиент функции Равен нулевому вектору, т.е. Точка ч*, удовлетворяющая условию , называется стационарной точкой функции . Квадратная матрица А называется симметричной, если . симметричная матрица А называется неотрицательно определенна, если для любого скалярное произведение векторов и ч неопределенно; т.е. ; положительно определенной, если ; неопложительно определенной, если ; отрицательно определенной, если . Теорема 2. (критерий Сильвестра). Симметричная матрица Ф неотрицательно (положительно) определена тогда и только тогда, когда все главные (угловые) миноры неотрицательны (положительны): и т.д., Симметричная матрица А является неположительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда знаки последовательных гдавных миноров чередуются, причем ; и т.д. Матрица вторых производных функции .
Называется матрицей Гессе функции . Теорема 3. Если точка х* - локальное решение задачи минимизации, и в этой точке имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то матрица Гесса функции в точке х* является неорицательно определенной, т.е. . Теорема 4. (о достоверных условиях локального экстремума). Если точка х* является стационарной точкой функции , т.е. и матрица Гессе функции в точке х* положительно определена, то х* - строгое локальное решение задачи (2)- минимизации. Если точка х* является стационарной и матрица Гессе в ней отрицательно определена, то х* - строгое локальное решение задачи максимизации функции . Для одномерной оптимизации - условие стационарности . - условие минимума . (максимума) . Пример. Решить задачу. Решение. Находим стационарные точки : Система имеет два решения: Матрица Гессе: Матрица не является неотрицательно определенной. Матрица - положительно определена. В.т. - минимум функции.
II. Выпуклые множества и выпуклые функции Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками и ему целиком принадлежит отрезок, соединяющий эти точки. Условия выпуклости: (4) Функция , определенная на выпуклом множестве , называется выпуклой, если . Справедливо неравенство (5) Если неравенство (S) – строгое, то функция строго выпуклая. Теорема 5. Если функция выпукла на множество Х и Х*. Является стационарной точкой функции , т.е. , то х* - строгое локальное решение задачи. (6) Теорема 6. Если функция и множество х выпуклы, то любое локальное решение задачи (6) является также глобальным решением на множество х. Теорема 7. (достаточные условия выпуклости функции). Если имеет непрерывные производные до 20го порядка включительно и матрица Гессе функции положительно определена в любой точке х выпуклого множества х, то является выпуклой на множестве х. Пример. Показать, что стационарная точка функции Является глобальным решением задачи . Решение. Находим стационарную точку функции :
Точка - решение системы. Находим матрицу Гессе . положительно определена во всех точках выпуклого множества х (Н не зависит от х). Точка х* - решение глобальной задачи минимизации.
Литература
М.: Наука, 1970, 664 с. 2. Н.В.Копченова, И.А. Марон «Вычислительная математика в примерах и задачах». М.: Наука, 1972, 367 с. И.С. Березин, Н.П. Жидков. «Методы вычислений», т 1,т 2. М.: 1962 4. Р.В. Хемминг. «Численные методы для научных работников и инженеров» М.: Мир,, 1977 5. Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова «Численные методы анализа». М.: Наука 1967, 368 с. 6. В.И. Ракитин, В.Е. Первушин. «Практическое руководство по методам вычислений». М.: Высшая школа, 1998, 383 с. 7. М.Малькольм, К. Фоулер «Машинные методы математических вычислений». М.: Мир, 1980, 279 с. 8. С.В. Михайленко. «Численные методы (учебное пособие)». Харьков, из-во ХАИ, 1978, 126 с. 9. С.В. Михайленко. «Численные методы (учебное пособие по лабораторному практикуму)». Харьков, из-во ХАИ, 1978, 92 с. 10. Н.С. Бахвалов. «Численные методы». М.: СПб - 2000, 622 с. 11. Н.С. Бахвалов. «Численные методы в задачах и упражнениях». М.: Высшая школа - 2000, 622 с.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-03-09; просмотров: 58; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.218.172.210 (0.017 с.) |