Расстояние от точки до плоскости

Рис.1.7.17

Пусть дана точка M ₀(x ₀; y ₀; z ₀) и плоскость α: A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0.

Расстояние от точки M ₀  до  плоскости α (см. рис.1.7.17) находим по формуле:

 

d = | Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D | A ^2 + B ^2 + C ^2

(1.7.7 )

 

Пример.

Найти расстояние от точки M (3; 9; 1) до плоскости α: x – 2 y + 2 z – 3 = 0.

Решение: Применяем формулу (1.7.7), где A = 1, B = –2, C = 2, D = –3,

Ответ:

d = 5 1

3

 

 

1.7.2. Прямая в пространстве. Вывод уравнений прямой. Условия взаимного расположения прямых в пространстве.

Рис.1.7.18

Пусть в системе координат Oxyz дана прямая, которая проходит через точку M ₀(x ₀; y ₀; z ₀) (см. рис.1.7.18). Обозначим через ` s = (m, n, p), ненулевой вектор, параллельный данной прямой.

Вектор ` s называется направляющим вектором прямой.

 

Возьмем на прямой произвольную точку   M (x, y, z)  и рассмотрим вектор

0

0

M M =(x – x ₀, y – y ₀, z – z ₀). Векторы M M и ` s коллинеарны, следовательно, их

соответствующие координаты пропорциональны:

x - x 0 = y - y 0 = z - z 0 m        n        p

(1.7.8 )

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

 

Рис.1.7.19

Пример. Написать уравнения прямой, проходящей через точку M (1; 2; –1) параллельно вектору ` s =(2,0,3)

Решение: Вектор ` s является направляющим вектором искомой прямой.

Применяя формулы (1.7.8), получим:

x -1 =  y - 2 =  z + 1.

Это – канонические уравнения прямой.

2     0      3

Замечание: Обращение в нуль одного из знаменателей означает обращение в нуль соответствующего числителя, то есть y – 2 = 0; y = 2. Данная прямая лежит в плоскости y = 2, параллельной плоскости Oxz.

Параметрические уравнения прямой

Пусть прямая задана каноническими уравнениями

x - x 0 =  y - y 0 =  z - z 0.

m

Обозначим

n        p

x - x 0 =  t,  m

 

тогда

 

y - y 0 =  t; n

z - z 0 =  t.

p

 

Величина   t называется

параметром и может принимать любые значения: –∞< t <∞.

Выразим x, y и z через t:

 

ì x =   x 0 +   mt ï y = y + nt í    0 ï z = z 0 + pt î

(1.7.9 )

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Пример. Составить параметрические уравнения  прямой, проходящей через точку M (1; 2; –1) параллельно вектору s =(2; 0; 3).

Решение: Канонические уравнения этой прямой получены в предыдущем примере:

x -1 =  y - 2 =  z +1.

2     0     3

Для нахождения параметрических уравнений прямой применим вывод формул (1.7.9.):

x - 1 =  t; 2

 y - 2 =  t; 0

z +1 =  t Þ

3

x = 1 + 2 t; y = 2 + 0· t; z = –1 + 3 t.

í

ì x = 1+ 2 t

Итак,

ï  y = 2

î

ï z = -1+ 3 t.

– параметрические уравнения прямой.

 

 

Ответ:

ì x = 1+ 2 t

í

ï  y = 2

î

ï z = -1+ 3 t.

 

 

 

Пример. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через

точку M (–1; 0; 1) параллельно вектору

 

AB,

где A (2; 1; –1), B (–1; 3; 2).

Решение: Вектор AB является направляющим вектором искомой прямой. Найдем его координаты: AB = (–3; 2; 3). По формулам (1.7.9) запишем параметрические уравнения прямой.

í

ì x = -1 - 3 t

Ответ:

ï  y = 0 + 2 t.

î

ï  z = 1 + 3 t