Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

2. 1.3.1. Бесконечно малые переменные величины. Свойства бесконечно малых.

2. 1.3.2.Теорема о разности между переменной величиной и ее пределом

2. 1.3.3. Основные свойства пределов.

2. 1.3.4. Бесконечно большие переменные величины.

2. 1.3.5. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми переменными величинами.

Два признака существования пределов.

2.1.4.1. Теорема о промежуточной переменной.

2.1.4.2. Предел     монотонной     ограниченной последовательности.

 

 

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Функция одной переменной.

Переменные величины. Понятие функции.

Из различных научных дисциплин известны многие типы величин, описывающих и характеризующих те или иные предметы и явления: углы, длины, площади, объемы – в геометрии; силы, массы, скорости, ускорения – в механике; сила тока, напряженность, температура, теплоемкость и т.д. – в физике.

Все эти величины различны по своим качествам, свойствам, природе. Однако каждую из них можно измерить, то есть сравнить с некоторой другой, однородной с ней величиной, принятой за единицу. В результате измерения всегда возникает число (отвлеченное), характеризующее измеряемую величину, называемое ее численным значением или просто значением измеряемой величины.

При изучении величин в математике отвлекаются от их конкретной природы и имеют дело только с их численными значениями. Поэтому полученные в математике результаты исследования величин применимы ко всем конкретным величинам любой природы.

Величина x называется переменной, если она принимает различные значения. Если величина x все время сохраняет одно и то же значение, то она называется постоянной. Большинство величин являются переменными.

Множество всех значений переменной величины называют областью ее значений.

Функциональная зависимость переменных величин. Функция.

Переменная величина, характеризующая какой-либо процесс, возникает в связи с другими переменными величинами.

Математическую основу изучения связей между переменными величинами составляют понятие функциональной зависимости переменных величин и понятие функции.

Пусть есть две переменные величины x и y, областью значений переменной x является множество D, областью значений переменной y является множество E (D и E лежат на числовой оси).

Определение. Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению x из множества D по некоторому правилу поставлено в соответствие одно определенное значение переменной y из множества E. Записывают это так:

y = f (x)

или

y = y (x).

Буква f (или F) чаще других употребляется для обозначения функции, так как она является первой буквой слова «function» - «функция». (Но можно использовать для обозначения функции и другие буквы).

Переменная величина x называется независимой переменной или

аргументом, переменная величина y называется зависимой переменной

Или функцией.

Запись y = f (x) можно  понимать  так: x - независимая переменная

величина, y - зависимая от x переменная (то есть функция от x), а за буквой f скрывается закон соответствия, то есть обобщенная запись тех операций, которые надо проделать с аргументом x, чтобы получить соответствующие значения переменной y.

Множество D называется областью определения функции, а множество E - областью (или множеством) значений функции.

Из определения функции следует, что функция является однозначной: каждому значению x ставится в соответствие одно значение y.

Чтобы задать функцию надо знать область определения и закон соответствия.

Способы задания функции

Аналитический способ.

Основным способом задания функции является аналитический способ, то есть с помощью формулы. При таком задании функции явно указаны математические операции, которые следует производить над аргументом, чтобы получить соответствующее значение функции. Например:

y = 2 x 2 +1; y = sin 2 x