Бесконечно большие переменные величины.

До сих пор, говоря о пределе переменной величины, мы подразумевали, что этот предел является конечным числом. Теперь рассмотрим случай, когда

этот  предел + ¥

или

-¥. В этом случае переменную величину будем

называть бесконечно большой. То есть переменная величина y называется бесконечно большой, если в процессе своего изменения она неограниченно возрастает по абсолютной величине. Дадим более строго определение.

Определение. Переменная величина y называется бесконечно большой, если для любого (сколь угодно большого) положительного числа M, начиная с некоторого момента в процессе изменения этой переменной величины,

будет выполняться неравенство y > M.

Обозначают тот факт, что переменная величина y является бесконечно

большой следующим образом lim y = ¥.

В нашем определении, как и раньше при определении предела, остались нерасшифрованные слова «начиная с некоторого момента в процессе изменения переменной величины». Они сейчас будут нами расшифрованы

для случая, когда переменная величина является функцией y = f (x).

Замечание. Не следует пытаться определить выражение lim y = ¥ с

помощью неравенства

y - ¥

< e, так как символ ¥ не является числом и

использовать его в этой разности бессмысленно. Нам приходится давать

другое определение, отличное от определения предела lim y = a.

Бесконечно большие функции.

Определение. Функция

y = f (x)

называется бесконечно большой при

x ® x 0, если для любого сколь угодно большого положительного числа M

существует такое положительное число d (зависящее от M), что для всех

точек x   из   d - окрестности точки   x 0  (то есть для всех   x, для которых

выполняется неравенство

0 < x - x 0

< d) будет выполняться неравенство

f (x)

> M.

Это определение означает, что значения функции неограниченно возрастают по абсолютной величине, когда x неограниченно приближается к

x 0. Записывают это так

lim

x ® x 0

f (x) = ¥. Геометрическая иллюстрация этого

понятия приведена на рис. 23.

 

Рис. 23

Для любого x из d - окрестности точки x 0

 

f (x)

 

 

> M.

Может быть так, что абсолютные величины значений функции

f (x)

неограниченно возрастают при неограниченном возрастании аргумента x,

тогда

f (x)

называется бесконечно большой при

x ® ¥ :

lim

x ®¥

f (x) = ¥.

Дадим строгое определение бесконечно большой функции при x ® ¥ .

Определение. Функция

f (x)

называется бесконечно большой при

x ® ¥

, если для любого (сколь угодно большого) числа M > 0 найдется такое число

N > 0, зависящее от M (N = N (M)), что для всех значений x, таких что

x > N,

будет выполняться неравенство

f (x)

> M.

Геометрическая иллюстрация этого определения приведена на рис. 24.

 

 

Рис. 24

Бесконечно большая величина – это величина переменная, никакая постоянная, какой бы большой ни была ее абсолютная величина, не будет бесконечно большой величиной.

 

 

2.1.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.