Параллельность прямой и плоскости

Рис.1.7.24

Условие параллельности прямой и плоскости можно получить, используя векторную алгебру. Пусть прямая l параллельна плоскости α (l || α₁)

(см. рис. 1.7.24). Тогда направляющий вектор ` s прямой l перпендикулярен нормальному вектору ` N плоскости α. Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Если ` s = (m, n, p), ` N = (A, B, C), то ` s · ` N = 0 или

 

Am + Bn + Cp = 0

(1.7.13)

Полученное условие является условием параллельности прямой и плоскости.

Пример. Доказать, прямая l:

x + 2 =  y -1 =  z

параллельна плоскости α: 3 x

– y + z – 2 = 0.

1    2 -1

Решение: Выпишем направляющий вектор прямой l: ` s = (1; 2; –1) и нормальный вектор плоскости α: ` N = (3; –1; 1). Найдем скалярное произведение этих векторов: ` s · ` N = 1·3 + 2·(–1) + (–1)·1 = 0. Следовательно, прямая l параллельна плоскости α.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Рис.1.7.25

Условие перпендикулярности прямой и плоскости также можно получить, используя векторную алгебру. Пусть прямая l перпендикулярна

плоскости α (l ^ α) (см. рис. 1.7.25).

Тогда направляющий вектор ` s прямой l будет коллинеарен нормальному вектору ` N плоскости α. Следовательно, соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть ` s = (m, n, p), `N = (A, B, C). Тогда

m =   n =   p A B C

(1.7.14)

Это условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (1; 2;

3) перпендикулярно прямой

x +1 = y -1 = z.

                    

2      -1   3

Решение: Выпишем направляющий вектор прямой: ` s = (2; –1; 3). Вектор

` s можно взять за нормальный вектор ` N искомой плоскости: ` N = ` s. Применяем формулу (1.7.1)

2(x – 1) – 1(y – 2) + 3(z – 3) = 0 Þ 2 x – y + 3 z – 9 = 0

Ответ: 2 x – y + 3 z – 9 = 0.

 

 

Пример. Составить уравнение прямой; проходящей через точку M (2; –1; 0) перпендикулярно плоскости x + 2 y – 3 z + 1 = 0.

Решение: Выпишем нормальный вектор плоскости: ` N =(1; 2;–3). Вектор

` N можно взять за направляющий вектор искомой прямой: ` s = ` N = (1; 2; – 3). По формулам (1.7.1) запишем канонические уравнения прямой, проходящей через точку M (2; –1; 0):

x - 2 =  y +1 =  z.

                   

1     2   - 3

Ответ:

x - 2 =  y + 1 =  z.

                   

1      2   - 3

РАЗДЕЛ 2.

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И

НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ЛЕКЦИЯ 5

Тема 2.1. Функция одной переменной. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Понятие о сходимости числовой последовательности.

Функция одной переменной

2.1.1.1. Функция одной переменной. Способы задания функции.

2.1.1.2. Элементы поведения функции. Ограниченные

переменные величины и функции. Возрастание и убывание функции на интервале. Чѐтные и нечѐтные функции. Периодические функции. Сложная функция.

2.1.1.3. Основные элементарные функции. Элементарные функции

Предел функции. Понятие о сходимости числовой последовательности.

2.1.2.1. Предел переменной величины.

2. 1.2.2. Предел функции при x ® ¥ .

2.1.2.3. Предел функции при точке).

x ® x 0

(предел функции в

2.1.2.4. Односторонние пределы функции при

x ® x 0.