Это условие перпендикулярности двух прямых в пространстве.

Если прямые l ₁ и l ₂ параллельны (l ₁ || l ₂), то их направляющие векторы коллинеарны (` s <sub>1</sub> ||` s ₂), то есть

m 1 = n 1 = p 1 m 2     n 2     p 2

(1.7.14)

Это условие параллельности двух прямых в пространстве.

 

 

Пример. Найти угол между прямыми:

Решение: а) Запишем направляющий вектор первой прямой

l ₁: ` s <sub>1</sub> =(2; –1; 3). Найдем направляющий вектор` s ₂ второй прямой. Для этого находим нормальные векторы `N <sub>1</sub> и `N ₂ плоскостей, входящих в систему `N <sub>1</sub> = (2; 1; –1) и `N ₂ = (2; –1; 3). Затем найдем их векторное произведение:

Зная ` s <sub>1</sub> = (2; –1; 3) и ` s ₂ = (2; –8; –4), по формуле (1.7.5) получим:

cosj =                                = 0.

Следовательно, j = 90º (l ₁ ^ l ₂).

б) Запишем направляющие векторы данных прямых:` s <sub>1</sub>=(1; 2; –3) и ` s ₂ = (–1; –2; 1). Векторы ` s <sub>1</sub> и` s ₂ коллинеарны, так как их соответствующие

координаты пропорциональны:

1 = 2

- 1 - 2

= - 1.

1

Значит прямые l ₁ и l ₂ параллельны (l ₁ || l ₂), то есть j = 0º.

Ответ: а) j = 90º, б) j = 0º.

 

Пример. Доказать перпендикулярность прямых:

Решение: Направляющий вектор первой прямой` s <sub>1</sub> =(3; –1; –1). Найдем направляющий вектор ` s ₂ второй прямой. Для этого возьмем нормальные векторы `N <sub>1</sub> и `N ₂ плоскостей, входящих в систему: `N ₁ = (1; –1; 1) и

`N ₂ = (1; 1; –1), и вычислим их векторное произведение:

Зная` s <sub>1</sub> =(3; 1; –1) и ` s ₂ =(0; 2; 2),  проверим условие перпендикулярности прямых (1.7.6): 3·0 + 1·2 + (–1)·2 = 0.

Условие выполнено, следовательно, прямые перпендикулярны.

 

1.7.3. Взаимное расположение прямой и плоскости. Пересечение прямой с плоскостью

Пусть дана плоскость α: Ax + By + Cz + D = 0 и прямая

l: x - x 0 =  y - y 0 =  z - z 0.

Рис.1.7.23

Требуется найти точку пересечения прямой с

m       n       p

плоскостью (см. рис. 1.7.23).

Перепишем уравнения прямой в параметрическом виде:

ì x =  x ₀ +  mt

í

ï  y = y + nt

0

î

ï  z = z 0 + pt

Подставим полученные выражения в уравнение плоскости:

A (x ₀ + mt) + B (y ₀ + nt) + C (z ₀ + pt) + D = 0.

Возможны три случая:

а) Если это уравнение имеет единственное решение t = t ₀, то прямая

í

ì x =  x ₀ +  mt ₀

пересекает плоскость в точке M с координатами:

ï  y = y

+ nt 0.

î

0

ï  z = z 0 + pt 0

б) Если это уравнение не имеет решений, то прямая параллельна плоскости.

в) Если уравнение имеет бесчисленное множество решений, т.е. имеет вид 0· t = 0, то прямая лежит в плоскости.

 

 

Пример. Найти точку пересечения прямой с плоскостью, если:

а) _{l :} ^{x - 2} ₌ ^y ₌ ^{z +1},     α₁: 2 x – y – 2 z – 8 = 0

¹  -1 4 - 3

2

б) _{l :}

x - 2 =

1

y =  z +1, α₂: x + y + z – 1 = 0

- 4    3

3

в) _{l :}

ì x +  y -  z + 2 = 0,   α3: x + 2 y + z – 3 = 0

í x - y + 2 = 0

î

Решение: а) Запишем уравнения прямой l ₁ в параметрическом виде:

ì x = 2 -  t

í

^ï y = 4 t    .

î

ï z = -1 - 3 t

Подставим эти уравнения в уравнение плоскости:

2(2 – t) – 4 t – 2(–1 –3 t) – 8 = 0 Þ

4 – 2 t – 4 t +2 + 6 t – 8 = 0  Þ 0· t = 2.

Полученное уравнение не  имеет решений. Следовательно,  прямая l ₁

параллельна плоскости α₁.

б) Рассуждая аналогично, получим:

ï

ì x = 2 +  t

l 2: í  y = -4 t

î

ï z = -1+ 3 t

; (2 + t) + (–4 t) + (–1 + 3 t) – 1 = 0 Þ 0· t = 0 Þ t – любое.

Уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Следовательно, прямая l ₂ лежит в плоскости α₂.

в) l 3:

ì x   +  y -  z + 2 = 0.

í x - y + 2 = 0

î

Запишем уравнение l ₃ в параметрическом виде. Для

этого найдем точку, лежащую на прямой. Положим z = 0. Тогда

l 3:

ì x   +  y + 2 = 0

î

í x - y + 2 = 0

Þ x = -2;

y = 0.

Итак M ₀(–2; 0; 0).

Найдем направляющий вектор ` s. Для этого выпишем нормальные векторы плоскостей: `N ₁ = (1; 1; –1) и `N <sub>2</sub> = (1; –1; 0), и вычислим их векторное произведение: ` s = `N <sub>1</sub> ´ `N ₂ = (–1; –1; –2). Воспользуемся формулами (1.7.2):

ï

ì x = -2 -  t l 3: í  y = - t

î

ï z = -2 t

Подставим l ₃ в уравнение плоскости α₃: x + 2 y + z – 3 = 0. Получим

(–2 – t) + 2·(– t) + (–2 t) – 3 = 0 Þ –2 – t – 2 t + –2 t – 3 = 0 Þ

–5 t = 5 Þ t = –1.

Подставив найденное значение t = –1 в параметрические  уравнения прямой l ₃, получим точку пересечения прямой l ₃ с плоскостью α₃.

Ответ: а) l ₁ || α₁. б) Прямая l ₂ лежит в плоскости α₂. в) Прямая l ₃ пересекает плоскость α₃ в точке M (–1; 1; 2).