Уравнение прямой по точке и нормальному вектору

Рис. 1.6.15

Пусть прямая проходит через точку M ₀(x ₀, y ₀).

Под нормальным вектором понимают ненулевой вектор, который перпендикулярен данной прямой. Обозначим его` n = (A, B).

Возьмем на прямой произвольную точку M (x, y) и рассмотрим вектор

M 0 M. Его координаты равны

M 0 M = (x - x 0 , y - y 0 ).   Вектор n `

перпендикулярен вектору M 0 M. Из векторной алгебры известно, что

скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю. Следовательно, уравнение прямой по точке и нормальному вектору имеет вид:

 

A (x – x 0) + B (y – y 0) = 0

(1.6.3 )

 

Общее уравнение прямой имеет вид:

Ax + By + C = 0

(1.6.4 )

Коэффициенты А и В в уравнении определяют координаты нормального вектора: ` n = (A, B).

Рассмотрим общее уравнение прямой подробнее.

1) Если А = 0, то ` n = (0, B), уравнение примет вид By + C = 0; y = – C.

B

Прямая параллельна оси Ox.

2) Если В = 0, то

 

n = (A, 0)

, уравнение примет вид: Ax + C = 0, x = – C.

A

Прямая параллельна оси Oy.

3) Если С = 0, то уравнение примет вид: Ax + By = 0, y = – A x.

B

 

Прямая

проходит через начало координат и имеет угловой коэффициент k = – A.

B

Из общего уравнения прямой, если В ≠ 0, можно найти угловой коэффициент k. Для этого выразим y из уравнения: Ax + By + C = 0: By = – Ax                  – C  или

y = – A x

B

– C.

B

 

Угловой коэффициент прямой на плоскости:

k = – A B

(1.6.5 )

Пример. Прямая задана уравнением 3 x – 4 y +5 = 0. Найти координаты нормального вектора.

Решение: Координатами нормального вектора ` n являются коэффициенты при x и           y данного уравнения прямой. Имеем А = 3; В = –4.

Ответ: ` n = (3, -4).

 

 

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (2, –1) и имеющей нормальный вектор` n = (0, 2).

Решение: Применяем формулу (1.3.3). Имеем 0(x – 2) + 2(y + 1)= 0 Þ 2 y + 2 = 0 Þ y + 1 = 0.

Ответ: y + 1 = 0.

 

 

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (0; 1) перпендикулярно вектору AB, где А (–1; 2), В (1; –1).

Решение:                          Найдем          координаты          вектора                        Вектор AB является нормальным вектором искомой прямой. По формуле (1.3.3) имеем

Ответ: 2 x – 3 y + 3 = 0.

 

 

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору:

Рис. 1.6.16

Пусть прямая проходит через точку M ₀(x ₀, y ₀).

Определение. Направляющим вектором  ` s данной прямой называется ненулевой вектор, параллельный этой прямой.

Пусть дан вектор s = (m, n). Возьмем на прямой произвольную точку M (x,

y) и рассмотрим вектор

Векторы` s и

 

M 0 M

коллинеарны, следовательно, их соответствующие

координаты пропорциональны.

 

x - x 0 =  y - y 0 m           n

(1.3.6 )

Полученное уравнение называется уравнением прямой по точке и направляющему вектору.

 

 

Пример. Прямая задана уравнением

x + 2 =  y - 3.

         

Написать координаты

-1       2

направляющего вектора; найти координаты точки, лежащей на прямой; составить общее уравнение прямой.

Решение: Направляющий вектор s = (-1, 2). Точку M ₀ мы получим,

приравняв       нулю        числители        данного        уравнения:

x + 2 = 0 Þ x = -2,     y - 3 = 0,Þ y = 3.

Итак, M ₀(−2; 3).

Общее уравнение прямой получим по свойству пропорций:

(x + 2 ) 2 = (y - 3 )( -1 )

Þ 2 x + 4 = - y + 3 Þ

2 x + y +1 = 0

Ответ: ` s = (-1, 2), M ₀ (−2; 3), 2 x + y + 1 = 0.

 

 

Пример. Составить уравнение прямой по точке М (2, −5) и направляющему

вектору s = (-2, 4).

Решение: Применяем формулу (1.6.6). Имеем:

x - 2 =  y - (-5)

-2      4

Þ 4(x - 2) = -2(y + 5) Þ

4x + 2y + 2 = 0 Þ

2x + y +1 = 0

 

Ответ: 2 x + y + 1 = 0.

 

 

Пример. Через точку С (−2, 1) провести прямую, параллельную вектору AB

, где А (2, −1), В (3, 4).

Решение:  Вектор AB    можно взять за направляющий вектор данной прямой.

Применяем формулу (1.6.6). Имеем:

Ответ: 5 x – y + 11 = 0.