Линейные операции над векторами, заданными в прямоугольной системе координат

Так как прямоугольные координаты вектора являются его проекциями на координатные оси, то из свойств проекций получаем следующие правила.

1. При сложении двух векторов ā = (x ₁, y ₁, z ₁) и ` b = (x ₂, y ₂, z ₂) их одноименные координаты складываются

2. При умножении вектора ā = (x, y, z) на число каждая координата вектора

умножается на это число.

 

 

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов, заданных в координатной форме

x 1 = y 1 = z 1 x 2 y 2 z 2

Теорема. Для того, чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и                 достаточно,  чтобы их одноименные координаты были

пропорциональны:

 

 

► Доказательство. Пусть

a = (x 1, y 1, z 1),

b = (x 2, y 2, z 2).

Для того, чтобы векторы были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы a = l b, где l – некоторое число (см. лекцию 1), что означает:

x = l x, y = l y, z = l z

. Найдем l:

l = x 1, l = y 1, l = z 1. Получается:

 

                                                              

x 1 = y 1 =  z 1

 

1     2 1     2 1     2

 

.◄.

x 2        y 2         z 2

x 2 y 2 z 2

Замечание. Если одна из координат вектора равна нулю, то это означает, что соответствующая координата коллинеарного вектора также равна нулю.

Координаты точки в прямоугольной системе координат. Определение координат вектора по известным координатам его начала

Определение.   Вектор OM, идущий из начала координат в точку M, называется радиусом-вектором точки M (рис.8).

Рис. 1.5.8

Определение. Прямоугольными координатами точки называются прямоугольные координаты ее радиуса-вектора.

Записывают это следующим образом: M = (x, y, z).

Рис. 1.5.9

Пусть известны координаты точек M ₁ = (x ₁, y ₁, z ₁) и M ₂ = (x ₂, y ₂, z ₂) (рис.7).

Найдем координаты вектора

 

M 1 M 2

Проведем радиусы-векторы этих точек:

 

OM 1

и OM 2.

 

                                                                            

OM 1 = (x 1, y 1, z 1), OM 2 = (x 2, y 2, z 2).

Согласно правилу треугольника для сложения двух векторов:

 

OM 1 + M 1 M 2 = OM 2

или

M 1 M 2 = OM 2 - OM 1. Окончательно

 

 

Правило. Для того, чтобы найти координаты вектора по известным координатам его начала и конца, нужно из координат конца вычесть координаты начала.

 

 

1.5.3. Скалярное произведение двух векторов, определение, свойства, физический смысл скалярного произведения. Вычисление скалярного произведения в прямоугольной системе координат. Направляющие косинусы вектора.

Определение скалярного произведения

Определение. Углом между векторами называется меньший из углов, образованных этими векторами.

На рис.12 угол между векторами обозначен j, причем 0 ≤ j ≤ p.

Рис. 1.5.10

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

(a, b) = a × b = a × b × cos j

.

 

Обозначается скалярное произведение векторов ā и ` b: (ā,` b) либо a × b.