Основные сведения из теории числовых рядов.

Пусть задана бесконечная числовая последовательность

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком плюс, т.е. выражение вида

числа называются членами ряда.

Индекс, стоящий у каждого члена ряда, указывает его порядковый номер в ряде.

Сокращенно числовой ряд обозначается так:

                                     

Член U_n, номер которого не фиксирован, называется общим членом ряда.

Определение. Сумма первых n членов числового ряда

 называется n – ой частичной суммой.

Для каждого числового ряда можно построить последовательность его частичных сумм:

.........

Определение. Числовой ряд  называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится, т.е. существует конечный предел

Этот предел называют суммой ряда и записывают а разность - остатком ряда.

Замечание. Ряд  сходится тогда и только тогда, когда

Если последовательность частичных сумм расходится, т.е., при неограниченном возрастании числа слагаемых () в частичной сумме, она или не имеет предела или её предел равен бесконечности, то ряд называют расходящимся.

Расходящийся ряд суммы не имеет.

Основные теоремы о сходимости числовых рядов.

Теорема 1. Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда (сумма при этом изменится).

Теорема 2. Если ряд сходится и имеет сумму S, то ряд

который получается из предыдущего умножением всех членов на одно и тоже число с, также сходится и имеет сумму cS.

  Теорема 3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т.е., если ,  тогда ряд  также сходится и имеет сумму

  Теорема 4 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его общий член U_n стремится к нулю, при неограниченном возрастании n, т.е.

 Отсюда следует, что если  то ряд расходится.

  Замечание. Указанный признак не является достаточным, т.е. если то вопрос о сходимости ряда ещё не решен: он может быть как сходящимся так и расходящимся.

При рассмотрении числовых рядов практически решаются две задачи:

1) исследовать, сходится или расходится ряд;

2) зная, что ряд сходится, найти его сумму.

 

Числовые ряды с положительными членами.

 Рассмотрим числовой ряд .                                                      

 Определение. Если все члены ряда

то ряд называется знакоположительным.

Очевидно, в этом случае частичная сумма S_n возрастает с возрастанием n.

Поэтому положительный ряд либо сходится либо его сумма бесконечна, т.е.

или

 Рассмотрим некоторые достаточные признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами.

Признак сравнения.

Пусть

                  =                    

и                                      

         

- два ряда с положительными членами.

 Пусть члены ряда , начиная с некоторого номера n₀, меньше соответствующих членов ряда , т.е.  Тогда

 1) Если ряд  сходится, то ряд  также сходится. В этом случае ряд  называется мажорантой ряда .

Таким образом, положительный ряд сходится, если он обладает сходящейся мажорантой.

2) Если ряд  расходится, то ряд  также расходится.

Схематично суть признака сравнения выглядит так

Теорема (предельная форма признака сравнения). Если для рядов  и  выполняется условие

то рассматриваемые ряды одновременно сходятся или расходятся.

Чтобы с помощью признака сравнения исследовать ряды на сходимость, нужно иметь такие ряды, о которых заранее известно, сходятся они или расходятся.

Для сравнения обычно используются следующие эталонные ряды: геометрический, гармонический и другие.

Геометрический ряд

сходится при условии q < 1 и его сумма если то геометрический ряд расходится.

Гармонический ряд

расходится.