Предмет математической статистики.

Определение. Математическая статистика – это раздел математики, изучающий приближенные методы отыскания законов распределения и числовых характеристик по результатам эксперимента.

Термин "статистика" появился в середине 18 века. Означал "государствоведение". Получил распространение в монастырях. Постепенно приобрел собирательное значение. С одной стороны, статистика – это совокупность числовых показателей, характеризующих общественные явления и процессы (статистика труда, статистика транспорта). С другой – под статистикой понимается практическая деятельность по сбору, обработке, анализу данных по различным направлениям общественной жизни. С третьей стороны, статистика – это итоги массового учета, опубликованные в различных сборниках. Наконец, в естественных науках статистикой называются методы и способы оценки соответствия данных массового наблюдения математическим формулам.

Статистическая наука сложилась в результате теоретических обобщений накопленных человечеством опыта учетно-расчетных работ, обусловленных потребностями управления обществом.

Термин «статистика» произошел от латинских слов stato (государство) status (положение вещей, политическое состояние).

Статистика – это наука, изучающая количественную сторону массовых явлений и процессов в неразрывной связи с их качественной стороной, количественное выражение закономерностей общественного развития в конкретных условиях места и времени.

Статистика – это отрасль практической деятельности по сбору, накоплению, обработке и анализ цифровых данных, характеризующих население, экономику, культуру, образование и другие явления общественной жизни и предназначенную для задач государственного регулирования и управления.

Статистика – это собственно данные (цифровой материал), который обрабатывается определенными методами.

Таким образом, статистика – это общественная наука, изучающая количественную сторону массовых общественных явлений в неразрывной связи с их качественной стороной.

Ученые, внесшие вклад в развитие статистики:

– Уильям Петти – основатель статистики. Его заслуга в том, что он впервые применил числовой метод для анализа закономерностей общественной жизни. Работа – "Политическая арифметика".

– Адольф Кетле – бельгийский статистик. Доказал, что даже кажущиеся случайности общественной жизни обладают внутренней закономерностью и необходимостью.

– К.Ф. Герман – русский статистик ("Всеобщая теория статистики").

– В.И. Ленин – теория группировок, теория статистического наблюдения.

– Целый ряд других ученых.

Предметом статистики является количественная сторона качественно определенных общественных явлений и процессов

Особенности научной статистики в том, что она изучает:

Только социально-экономические явления (население, труд, инфляцию, рынок)

- только массовые социально-экономические явления и процессы

- количественную и качественную стороны процессов и явлений, их взаимосвязь

Статистика состоит из разделов:

- общая теория статистики

- социальная статистика

- экономическая статистика

- отраслевые статистики (статистика здравоохранения, труда,, науки, культуры, уровня жизни, права, промышленности, строительства, с/х, транспорта и т.д)

Задачи статистики:

1) Общие:

– обобщение и прогнозирование тенденций развития как отдельных сфер, так и всего народного хозяйства

– разработка и внедрение современных методов исследований экономических и социальных явлений

– определение и выявление имеющихся резервов эффективности отдельных сфер деятельности, так и всеобщего производства

– постоянное обеспечение органов государственной власти достоверной информацией

2) Специальные:

- изучение уровня и структуры массовых социально-экономических явлений

- рассмотрение взаимосвязи между явлениями

- анализ динамики массовых социально-экономических явлений

Статистика опирается на такие диалектические категории, как:

- количество и качество

- необходимость и случайность

- причинность

- закономерность

- единичность и массовость

- индивидуальное и общее

Значение статистики состоит в том, что она предоставляет ту достоверную и необходимую информацию, которая необходима государственным органам, предприятиям и гражданам для принятия решений.

Именно статистические данные позволяют:

- определить объемы макроэкономических показателей

- выявить основные тенденции развития отраслей экономики

- оценить уровень инфляции

- проанализировать состояние финансовых и товарных рынков

- исследовать уровень жизни

При сохранении условия конфиденциальности индивидуальной информации статистика помогает лучше увидеть положение дел, рассмотреть сильные и слабые стороны социально-экономических явлений.

Понятия генеральной совокупности и выборки являются основополагающими в статистике. Строгие определения заимствованы из теории вероятностей, хотя терминология этих двух наук различается. Вместо случайной величины X в теории вероятностей, в математической статистике вводится понятие о генеральной совокупности.

Определение. Под генеральной совокупностью понимают множество всех возможных значений случайной величины.

Вместо эксперимента (испытания, опыта), в результате которого случайная величина X приняла значение x (в теории вероятностей), в математической статистике вводится понятие о случайном выборе из генеральной совокупности X значения x. Уместная в теории вероятностей фраза «в результате n независимых испытаний случайная величина X приняла значения x ₁, x ₂, …, x _n» преобразуется: «случайная выборка x ₁, x ₂, …, x _n объема n извлечена из генеральной совокупности X».

Определение. Выборка – множество независимых, одинаково распределенных случайных величин.

Выборка – множество числовых значений, которые приняла исследуемая случайная величина в повторных независимых испытаниях.

Эти два определения эквивалентны. Действительно, при рассмотрении задачи – вычисление среднего значения случайной величины Х (числа очков на грани игральной кости) – можно построить опыт двумя способами: подбрасывать один кубик много раз (n раз) и вычислить среднее арифметическое по этим n реализациям (второе определение), или можно взять n одинаковых кубиков, подбросить их один раз, обеспечивая одинаковые условия испытаний (первое определение). Очевидно, значения средних арифметических, вычисленных по результатам обоих опытов, будут различны, поскольку среднее арифметическое как функция от реализаций случайной величины само является случайной величиной. А математическое ожидание как среднее по всей генеральной совокупности будет одинаковым и равным .

 Определение. Отдельные числовые значения случайной величины в каждом испытании называются реализациями данной случайной величины, а сами испытания проводятся в неизменных условиях.

Выборку можно понимать и как совокупность случайно отобранных объектов. В этом случае генеральная совокупность – совокупность объектов, из которых производится выборка.

Пример.

Пример. Для социолога, изучающего мнения избирателей перед выборами, генеральной совокупностью будет являться все население данной страны, имеющее право голоса, а выборкой объема n -множество n человек, отобранных для соответствующего опроса.

Приводя данное определение, необходимо упомянуть о повторных и бесповторных выборках.

Так как бесповторный отбор охватывает все новые и новые совокупности, а повторный отбор на всем протяжении одну и ту же совокупность, бесповторный отбор дает более точные результаты, чем повторный.

 

По способу отбора (способу формирования) выборки единиц из генеральной совокупности распространены следующие виды выборочного наблюдения:
1. простая случайная выборка (собственно-случайная);
2. типическая (стратифицированная);
3. серийная (гнездовая);
4. механическая;

5. комбинированная;

Простая случайная выборка (собственно-случайная) есть отбор единиц из генеральной совокупности путем случайного отбора, но при условии вероятности выбора любой единицы из генеральной совокупности. Отбор проводится методом жеребьевки или по таблице случайных чисел.

Типическая (стратифицированная) выборка предполагает разделение неоднородной генеральной совокупности на типологические или районированные группы по какому-либо существенному признаку, после чего из каждой группы производится случайный отбор единиц.

Для серийной (гнездовой) выборки характерно то, что генеральная совокупность первоначально разбивается на определенные равновеликие или неравновеликие серии (единицы внутри серий связаны по определенному признаку), из которых путем случайного отбора отбираются серии и затем внутри отобранных серий проводится сплошное наблюдение.

Механическая выборка представляет собой отбор единиц через равные промежутки (по алфавиту, через временные промежутки, по пространственному способу и т.д.). При проведении механического отбора генеральная совокупность разбивается на равные по численности группы, из которых затем отбирается по одной единице.

Комбинированная выборка основана на сочетании нескольких способов выборки.

Основным предположением статистики является репрезентативность выборки, свойство выборки представлять генеральную совокупность в целом. Репрезентативность, в силу закона больших чисел, достигается случайностью отбора. Наблюдаемые значения  называются вариантами или опытными значениями.

Основная задача статистики – получить обоснованные выводы о характеристиках генеральной совокупности, анализируя извлеченную из нее выборку. Конкретные задачи, которые могут стоять перед исследователем статистических данных в зависимости от конкретных целей, возможностей и доступных ресурсов: описать закон распределения генеральной совокупности; подобрать значения параметров этого закона; оценить числовые характеристики генеральной совокупности; если генеральная совокупность – многомерная случайная величина, оценить всевозможные коэффициенты корреляции между ее составляющими; если есть несколько выборок, извлеченных из разных генеральных совокупностей, определить, одинаково ли распределены эти генеральные совокупности, одинаковы ли соответствующие числовые характеристики этих генеральных совокупностей и т. д.

Все перечисленные задачи сформулированы на языке математической статистики и теории вероятностей. От прикладной статистики «требуют» ответы и на другие вопросы. Можно ли утверждать, что новое лекарство излечивает эффективнее от определенной болезни, чем старое? Какой будет численность населения в следующем году? Существует ли связь между значениями предела прочности и предела текучести различных марок стали? Каковы тенденции развития фондового рынка? Существует ли исторический тренд в изменении мирового климата? и т. д. Все эти разнообразные вопросы имеют общий элемент: ответы на них зависят частично от данных. Чтобы вопросы соответствовали действительности, необходимо уметь строить адекватные вероятностные модели для реальных ситуаций, уметь представлять выборку в удобном для изучения виде, владеть математическим аппаратом теории вероятностей и математической статистики. В результате, располагая знаниями о свойствах и характеристиках изучаемой генеральной совокупности, можно предсказать свойства повторно извлеченных из нее выборок, заглянуть в будущее. Итак, анализ данных – это совокупность методов, которые помогают описать явления, определить их структуры, развить объяснения и проверить гипотезы. Он используется во всех науках, в бизнесе, управлении и политике.

Обычно численные результаты анализа выборок просты. Но анализ данных – это не анализ чисел, он лишь использует их. Анализ данных – это исследование мира в стремлении докопаться до истины.