Статистические характеристики

В дальнейшем будет использоваться следующее обозначение выборки:

, где x _i, – варианты выборки (опытные значения); i – номер варианты; n – объем выборки.

Небольшие выборки удобно представлять в виде вариационного ряда.

Определение. Вариационный ряд – это выборка, упорядоченная по неубыванию, т. е.

x ₁   x ₂  x₃  …   x _n

в вариационном ряду представлены все значения выборки, включая повторяющиеся.

К основным статистическим характеристикам выборки данных относятся:

1. объем выборки,

2. размах выборки,

3. среднее арифметическое,

4. мода,

5. медиана,

6. частота,

7. относительная частота.

Объем и размах

Определение. Выборка состоит из элементов x₁, x₂ , x₃, …, x_n попавших в нее. Количество этих элементов (n) называется объемом выборки.

Пример.

В таблице ниже приведен рост игроков сборной по футболу:

Игрок	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Рост	183	194	187	181	176	190	189	184	178	179	181

Данная выборка представлена 11 элементами (x ₁=183; x ₂=194; x ₃=187;...; x ₁₁=181). Таким образом, объем выборки (n) равен 11.

Определение. Разность между максимальным и минимальным значениями элементов выборки называется размахом выборки.

Итак, размах выборки = x ​_max​​− x ​_min

Размах представленной выборки составляет x ​_max​​− x ​_min​​=194−176=18 см.

Среднее арифметическое

Определение. Среднее арифметическое ряда чисел (x​_cp​​) – это частное от деления суммы этих чисел на их количество.

Итак,

Пример.

Игрок	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Рост	183	194	187	181	176	190	189	184	178	179	181

Определите средний рост игроков.

Данная выборка представлена n = 11 элементами: x ₁=183; x ₂=194; x ₃=187;...; x ₁₁=181. Подставляем все данные в формулу :

Таким образом, средний рост игрока сборной составляет 183,8 см.

Пример.

Студентам 1 курса на неделю было задано решить как можно больше примеров из задачника. Количество примеров, решенных студентами за неделю, приведены ниже:

88	90	51	85	58	105	77	89	100	109
77	83	92	77	44	81	50	77	80	47

Найдите среднее количество решенных задач.

Итак, в таблице представлены данные по 20 студентам. Таким образом, n =20. x ₁=88, x ₂=90, x ₃=51,..., x ₂₀=47.

Подставляем все данные в формулу :

Таким образом, в среднем студенты 1 курса решили по 78 задач.

Мода и медиана

Определение. Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.

Обратимся снова к нашему примеру со сборной по футболу:

Игрок	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Рост	183	194	187	181	176	190	189	184	178	179	181

В данном примере мода равна 181, так как два игрока имеют рост 181см; рост же остальных игроков не повторяется.

Определение. Медианой ряда чисел с нечетным числом членов называется число, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить (проранжировать, т.е. расположить значения в порядке убывания или возрастания).

Медианой ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине, если этот ряд упорядочить.

Итак, рассмотрим выборку футболистов?

Игрок	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Рост	183	194	187	181	176	190	189	184	178	179	181

 Упорядочим ряд. Для того, чтобы в ряду чисел был порядок, можно расположить значения роста футболистов как в порядке убывания, так и в порядке возрастания.

Игрок	5	9	10	4	11	1	8	3	7	6	2
Рост	176	178	179	181	181	183	184	187	189	190	194

Итак, ряд упорядочили. Определим количество членов в выборке: четное или нечетное. Для четного и нечетного количества определения отличаются. Игроков 11, значит, количество нечетное. Теперь можем применять к выборке определение медианы для нечетного количества членов в выборке. Ищем число, которое оказалось посередине в упорядоченном ряду:

Рост

176

178

179

181

181

183

184

187

189

190

194

Рост 183 см будет медианой в выборке.

Рассмотрим пример про студентов 1 курса, которые решали задачи.

88	90	51	85	58	105	77	89	100	109
77	83	92	77	44	81	50	77	80	47

Для начала, упорядочим этот ряд чисел (расположим от самого маленького числа к самому большому). Получился вот такой вот ряд:

44

47

50

51

58

77

77

77

77

80

81

83

85

88

89

90

92

100

105

109

Теперь определим моду в данной выборке. Число, встречающееся чаще других - 77. Таким образом, мода в данной выборке равна 77.

Найдем медиану. Объем выборки равен 20 – это четное число. Таким образом, применяем определение медианы для ряда чисел с четным количеством элементов. То есть надо в упорядоченном ряду найти среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине: 80 и 81.

44

47

50

51

58

77

77

77

77

80

81

83

85

88

89

90

92

100

105

109

Таким образом, медианой этого ряда будет среднее арифметическое чисел 80 и 81:

- медиана рассматриваемой выборки.