Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Рассмотрим функцию f(x), которая определена в окрестности точки х₀ и в этой точке имеет конечные производные любого порядка, тогда

Определение. Рядом Тейлора функции f(x) называется степенной ряд вида

где  - остаточный член в форме Лагранжа ().

Необходимым и достаточным условием наличия равенства

  

для значений x из некоторого промежутка является условие

для всех значений x из этого промежутка.

Формула , верная при указанном условии, дает разложение функции f(x) в ряд Тейлора.

Если в формуле положить x₀=0, то ряд

 называется рядом Маклорена функции f(x), где

 – остаточный член в форме Лагранжа (0<c<x).

Поместим для справок разложения элементарных функций в ряд Маклорена.

Основные табличные разложения функций:

Функции	Разложение в ряд Маклорена	Условие сходимости ряда
sinx
cosx
		-1<x<1
		-1<x<1
ln(1+x)
arctgx

Чтобы разложить функцию f(x) в ряд Маклорена необходимо:

1. Преобразуем функцию f(x) к виду, допускающему использование табличных разложений ,  ,  ,  , , arctgx.

2. Найдем разложение функции в ряд Маклорена, используя табличные разложения, сложение (вычитание) рядов, умножение ряда на число.

3. Определим область сходимости полученного ряда к функции f(x).

Пример.Разложить функцию 

 в ряд Маклорена.

1. Разложим данную функцию на элементарные дроби:

2. Используя табличное разложение

 получим

Следовательно,

.

3. Областью сходимости полученного ряда является пересечение

Таким образом, при

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение числового ряда.

2. Какой числовой ряд называется сходящимся, расходящимся?

3. Сформулируйте признаки сравнения (признак непосредственного сравнения и предельный признак). Как следует выбирать ряд для сравнения с исследуемым рядом?

4. В чем заключается сущность признака Даламбера, радикального признака Коши? Какие ряды удобно исследовать с помощью каждого из них?

5. Какой ряд называется знакочередующимся? Сформулируйте достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда?

6. Дайте определение функционального ряда.

7. Какой функциональный ряд называется сходящимся в точке , расходящимся в точке ?

8. Какой ряд называется степенным?

9. Как определить радиус сходимости степенного ряда?

10. Какой ряд называется рядом Маклорена?

11. Что значит разложить функцию в ряд Маклорена?

 

Задания для самостоятельного решения

Задание № 1. Исследовать на сходимость ряды при помощи признака Даламбера.

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Задание № 2. Исследовать на сходимость ряды при помощи признака Коши.

1.

2.

3.

Задание № 3. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд.

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Задание № 4. Найти области сходимости степенных рядов.

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Задание № 5. Разложить функции в ряд Маклорена.

1.	2. f(x)= ln(1 + x – 2 x^2)	3. f(x)
4. f(x)=	5.	6.

VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

1. Понятие о приближении (аппроксимации) функции.

1) Понятие о приближении (аппроксимации) функции.

Пусть величина y является функцией аргумента x, т.е. любому значению x из области определения поставлено в соответствие значение y. Вместе с тем на практике часто неизвестна явная связь между y и x, то есть невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости , или она настолько громоздка, что ее использование в практических расчетах затруднительно.

Наиболее распространенным и практически важным является задание этой связи в виде некоторой таблицы . Это означает, что дискретному множеству значений аргумента  поставлено в соответствие множество значений функции , где . Эти значения либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные.

Таким образом, с точки зрения экономии времени и средств приходим к необходимости использования имеющихся табличных данных для приближенного вычисления параметра y при любом значении (из некоторой области) определенного параметра x, поскольку точная связь  неизвестна.

Этой целью служит задача о приближении (аппроксимации) функции: данную функцию  требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией , так чтобы отклонение от  в заданной области было наименьшим. Функция при этом называется аппроксимирующей.

На практике часто пользуются аппроксимацией функции многочленом:

При этом коэффициенты a _i подбираются так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от данной функции.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек , то аппроксимация называется точечной. К ней относится интерполирование, среднеквадратичное приближение и другое. При построении приближения на непрерывном множестве точек (например, на отрезке ) аппроксимация называется непрерывной (или интегральной).