Применение замечательных пределов.

Первый замечательный предел  

Второй замечательный предел.

Пример.

1)

2)

3)

Пределы иррациональных выражений.

Чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональное выражение в случае, когда предел и числителя, и знаменателя равен нулю, надо перенести иррациональность из числителя в знаменатель, или из знаменателя в числитель и после этого сделать необходимые упрощения. Иррациональность переносится с помощью домножения и числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное к иррациональности. После этого следует сделать преобразования и перейти к пределу, используя известные формулы:

a ²- b ² = (a - b)(a + b), a ³- b ³ = (a - b)(a ² + ab + b ²).

Пример.

1) .

Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное иррациональное выражение с учетом, что (а - b) (а + b) = a ² - b ² .

.

2)

Домножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат суммы

(а - b) (а ² + a b + b ²) = a ³ - b ³ .

Непрерывность функции.

Непрерывность функции в точке.

 

Определение. Функция y = f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Пример.

Исследовать функцию  на непрерывность при x = 4.

Найдем  и

Так как , следовательно, функция непрерывна в заданной точке.

Определение. Функция y = f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

Пример.

Исследовать функцию  на непрерывность.

Так как , то найдем ∆y для данной функции.

∆х = х - х₀ – приращение аргумента  x₀ = x - ∆х

∆y = y – y₀ – приращение функции

Тогда , а  

Найдем , следовательно функция непрерывна при любом значении x.

Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва.

Пример непрерывной функции:

Пример разрывной функции:

 

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х₀.

2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀.

3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х₀, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывная функция в этой точке.

Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах.