Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков выполняются для производных высших порядков.

2. Геометрический смысл производной.

Определение. Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции y = f(x) в точке , равен значению производной функции в точке , т.е.

Уравнение этой касательной имеет вид:

Пример.

Составить уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой = 3.

Найдём - значение данной функции при = 3

 - угловой коэффициент касательной в точке = 3.

Уравнение касательной будет иметь вид:

3. Физический смысл производной.

Мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути s по времени t.

Вторая производная пути s по времени t равна ускорению движения тела в данный момент времени.

Пример. Закон движения точки по прямой задан формулой .

Найти скорость и ускорение движения точки в конце первой секунды.

Решение: Т.к. V(t) = S`(t), то

Т.к. а(t) = V`(t), то

4.   Приложения производной к исследованию функции.

Возрастание и убывание функции

Определение. Функция   называется возрастающей на интервале   если для любых   таких, что   значения функции   и   удовлетворяют неравенству  (().

Определение. Функция   называется убывающей на интервале   если для любых   таких, что   значения функции   и   удовлетворяют неравенству   (().

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции.

Справедлива следующая теорема.

Теорема (необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции). Пусть функция   дифференцируема на интервале . Тогда

1) если функция   возрастает (убывает) на , то на этом интервале ее производная неотрицательна (неположительна), т.е. ,   (, );

2) если производная  на интервале   положительна (отрицательна), т.е. ,   (, ), то функция   на   возрастает (убывает).

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции y = 4x³ – 5x² + 2.

Найдем производную функции .

Решим неравенство , и найдем промежутки возрастания функции.

+             -                    +

         0                   

Таким образом, функция возрастает при

Решая неравенство , получим  - промежуток убывания.

Экстремумы функции

Пусть функция   определена на множестве , ,  – внутренняя точка   (т.е. существует некоторая окрестность точки , целиком лежащая во множестве ).

Определение. Точка   называется точкой максимума функции   если существует такая -окрестность точки , что , для любых значений x принадлежащих -окрестности. Значение функции в точке максимума называется максимумом функции.

Определение. Точка   называется точкой минимума функции   если существует такая -окрестность точки , что , для любых значений x принадлежащих -окрестности.   Значение функции в точке минимума называется минимумом функции.

Определение. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.

 Для функции, дифференцируемой в точке , справедлива следующая теорема.

Теорема (необходимое условие экстремума, теорема Ферма). Если  – точка экстремума функции   и  – дифференцируема в точке , то ее производная в этой точке равна нулю.

Определение. Точки, в которых производная функции   равна нулю, называются стационарными точками функции.

Очевидно, что не любая стационарная точка функции является ее точкой экстремума. Например, функция   имеет стационарную точку , которая не является ее точкой экстремума. Для функции, дифференцируемой в точке , справедлива следующая теорема.

Теорема. (первое достаточное условие экстремума функции). Пусть  – внутренняя точка области определения функции ,  непрерывна в окрестности точки   и дифференцируема в некоторой ее окрестности, за исключением, возможно, самой точки . Если при переходе через точку  производная функции   меняет знак, то   является точкой экстремума. При этом, если производная меняет знак с плюса на минус, то  – точка максимума, если с минуса на плюс – то  – точка минимума.

Замечание. Из теоремы следует, что точками экстремума могут быть не только стационарные точки, но и точки, в которых функция не имеет производной (точки разрыва производной).

Определение. Стационарные точки функции   и точки, в которых производная функции   не существует, называются критическими точками.

Пример. Найти экстремумы функции .

1) Находим область определение функции:

R.

2) Находим производную функции и ее критические точки:

;

: , ⇒ , ;

3) Определяем знак :  

 

 

Таким образом,  – точка минимума функции ,

                        – точка максимума функции ,

                       , .