Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Пусть x − независимая переменная, y = y (x) − искомая неизвестная функция. Дифференциальное уравнение – основной математический аппарат в естествознании. Они применяются в физике, астрономии, аэродинамике и теории упругости, химии, экономике, биологии и медицине. Такой подход к изучению явлений природы впервые был предложен итальянским ученным Г. Галилеем. Впервые его блестяще применил один из создателей математического анализа И. Ньютон. Решение задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего независимую переменную, искомую функцию и производные этой функции. Пусть x − независимая переменная, y = y(x) − искомая неизвестная функция. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные или дифференциалы. Символически дифференциальное уравнение записывается так: Например, уравнения , , являются дифференциальными уравнениями. Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок производных, входящих в данное уравнение. y + xy /=0 – дифференциальное уравнение 1-го прядка - дифференциальное уравнение 2-го порядка - уравнение n -го порядка Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает данное уравнение в тождество. Существуют задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Рассмотрим одну из них. Размножение бактерий. На опытах с бактериями установлено, что скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству, если, конечно, для них имеется достаточный запас пищи. Так как сами бактерии очень малы, а их количество велико, то можно считать, что масса бактерий с течением времени меняется непрерывно. Тогда скорость прироста массы бактерий называется скоростью размножения. Если через число x(t) обозначить массу всех бактерий в момент времени t, то будет скоростью размножения этих бактерий. Так как скорость размножения пропорциональна количеству бактерий, то существует постоянная k такая, что = kx. (1) По условию x(t) и x/(t) неотрицательные, поэтому коэффициент k тоже неотрицательный.
Уравнение (1) является простейшим примером дифференциального уравнения. Оно называется дифференциальным уравнением размножения. Искомым неизвестным уравнения (1) является функция x = x(t), которая в уравнение входит вместе со своей производной. Решением данного уравнения является функция вида x = Cekt, где С – const. Действительно, = (Cekt) = С∙ ekt ∙ k = k(Cekt) = kx. Радиоактивный распад. Опытом установлено, что скорость распада радия в каждый момент времени пропорциональна начальному количеству радия. Таким образом, если через x(t) обозначить массу вещества, еще не распавшегося к моменту времени t, то скорость распада удовлетворяет уравнению: = - kx(t), где k – некоторая положительная постоянная.. Знак минус показывает, что x(t) – убывающая функция, следовательно < 0. Уравнение = - kx(t) называется дифференциальным уравнением радиоактивного распада. Определение. Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если в нем одна независимая переменная. Основная задача интегрального исчисления – отыскание функции y, производная которой равна данной непрерывной функции f(x), - сводится к простейшему дифференциальному уравнению y / = f(x). Общее решение этого уравнения есть где С – произвольная постоянная, а под интегралом понимается одна из первообразных функции f(x). Определение. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка y / = f(x,у) в области D называется функция y = φ(x, С), обладающая следующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при любых действительных значениях произвольной постоянной С; 2) для любого начального условия y(x0) = y0 такого, что (x0, y0) D, существует единственное значение С = С0, при котором решение y = φ(x, С) удовлетворяет заданному начальному условию. 3) Всякое решение y = φ(x, С0), получающееся из общего решения y = φ(x, С) при конкретном значении С = С0, называется его частным решением. Пример. Решить уравнение = 2t + 3t2. = = 2t + 3t2 Интегрируя, обе части уравнения, получим: x (t) = + C – общее решение дифференциального уравнения. Определение. Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y / = f(x,у), удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0, называется задачей Коши.
Пример. 1) Решите задачу Коши - 3 x2 - 6 x + 7 = 0, y (1) = 6. = 3 x2 + 6 x - 7 Интегрируя, обе части уравнения, получим: - общее решение дифференциального уравнения. Используя, начальные условия, найдем С. -3+С = 6 С = 9 Таким образом, - частное решение дифференциального уравнения. 2) Является ли функция решением дифференциального уравнения . Так как функция является решением дифференциального уравнения, то подставим данное решение в уравнение. В уравнение входит производная функции y, найдем ее: Подставим найденное значение производной и значение самой функции в исходное уравнение: Таким образом, , следовательно, функция не является решением дифференциального уравнения. 3) Является ли функция решением дифференциального уравнения . Найдем производную функции : . Подставим найденное значение dy и значение самой функции в уравнение: Так как 0 = 0 следовательно, функция является решением дифференциального уравнения . 4) Найти решение задачи Коши: y(1) = 3 Найдем общее решение данного дифференциального уравнения: , где С – произвольная постоянная. Пользуясь начальным условием, имеем y(1) = 12 + 1 + C = 3. Следовательно С = 1, и искомое решение будет иметь вид . 5) Найти решение задачи Коши: x(1) = 2 Найдем общее решение данного дифференциального уравнения: где С – произвольная постоянная. Пользуясь начальным условием, имеем x(1) = 13 -2 ln1 + 5 ∙1 + C = 2 → 6 + C = 2 → C = - 4. Следовательно, искомое решение имеет вид: .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-03-10; просмотров: 161; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.158.47 (0.013 с.) |