Моделирование наращенных сумм и современных величин платежа.

 

Приведем формулы для вычисления наращенных сумм и современных величин платежей для ставок протых, сложных процентов и банковской учетной ставки. Все величины, стоящие в правых частях ниже приведенных формул, являются параметрами финансовой операции. Часть из этих параметров может быть не полностью заданной. В этих случаях не полностью определенные параметры будем рассматривать, как случайные величины, и будем моделировать их числовые значения. После того как все значения неизвестных параметров будут смоделированы, можно по приведенным ниже формулам, вычислить результирующее значение финансовой операции. А по совокупности результирующих значений можно оценить все числовые характеристики финансовой операции, используя методы математической статистики.

Формула наращения по ставке простых процентов, изменяющейся кусочно - линейно от интервала к интервалу, имеет вид:

 

                         ,                               (1)

 

где S - наращенная сумма, P - первоначальная сумма, , - ставка простых процентов, определенная на интервале n_s, n₁+ n₂+…+ n_k = n. Каждая из величин, стоящих в правой части (1), может быть случайной величиной.

Если уравнение (1) разрешить относительно P, то получим современное значение Р наращенной суммы S:

 

                                                            (2)

 

Если наращение производится по ставкам сложных процентов, то формула (1) трансформируется в формулу

 

                  ,                            (3)

 

а формула (2) – в формулу:

 

                     .                         (4)

 

Учет векселя с суммой S, поглощаемого за t дней до его погашения по годовой банковской ставке d, осуществляется по формуле

 

                     .                                                  (5)

 

Задание 1.

В начале года на депозит положено 560 тысяч рублей сроком на один год. По условиям финансового соглашения банк имеет право изменить процентную ставку в начале каждого квартала. Первоначальная ставка процентов известна и равна 70 % годовых, ставки процентов ,соответственно, во втором, третьем и четвертом кварталах неизвестны заранее. Есть основания считать, что будет равномерно распределена на интервале [73 %, 78 %];  будет иметь “трапецеидальное” распределение на интервале [73 %, 78 %] с максимальным значением плотности распределения на интервале [74 %, 76 %], а ставка процентов  в четвертом квартале примет значение 79 % с вероятностью 0,4 и 80 % с вероятностью 0,6. причем  - независимые случайные величины.

По 10 реализациям ставок процентов  оценить числовые характеристики наращенной суммы S: S_min, S_max, E{ S}, D{ S}, P{ 97600  97900 }.

   

Решение. Обозначим через   = ( ) трехмерный вектор. Пусть в результате моделирования получены 10 реализаций этого вектора: ⁽¹⁾ = (0,723; 0,748; 0,8), ⁽²⁾ = (0,746; 0,733; 0,79). ⁽³⁾ = (0,758; 0,756; 0,8), ⁽⁴⁾ = (0,734; 0.779; 0,8), ⁽⁵⁾ = (0,734; 0,741; 0,79), ⁽⁶⁾ = (0,729; 0,757; 0,8), ⁽⁷⁾ = (0,755; 0,736; 0,8), ⁽⁸⁾ = (0,739; 0,747; 0,8), ⁽⁹⁾ = (0,753; 0,758; 0,79), ⁽¹⁰⁾ = (0,742; 0,762; 0,8).

Используя формулу (1) с ₁ = 0,7; n₁ = n₂ = n₃ = n₄ =0,25, получаем: S⁽¹⁾ = 975,94; S⁽²⁾ = 975,66; S⁽³⁾ = 981,96; S⁽⁴⁾ = 981,82; S⁽⁵⁾ = 975,1; S⁽⁶⁾ = 978,04; S⁽⁷⁾ = 978,74; S⁽⁸⁾ = 978,04; S⁽⁹⁾ = 980,14; S⁽¹⁰⁾ = 980,56.

По выборочным значениям S^{( I)}, = , оценим следующие числовые характеристики S:

S_min = 975,1 тыс .; S_max = 980,56 тыс .; E{ S } = =978,6 тыс .; D{ S} = 6,276 тыс .; P{97600  97900} = 0,5.

 

Задание2.

По 1000 реализаций S вычисленных по формуле (1), оценить числовые характеристики S: S_min, S_max, E{ S}, D{ S}, P{ },для следующих значений параметров, входящих в правую часть формулы (1):

= 4, n₁ = n₂ = n₃ = n₄ = 0,25 года, P = 1230, S₁ = 1335, S₂ = 1340; , , , – независимые случайные величины, ₁   R (8,2 %; 9 %), ₂   R (8,4 %; 9,1 %),

                              

3	8,6 %	8,7 %	8,8 %	9,2 %
P	0,1	0,3	0,5	0,1

 

4	8,7 %	8,9 %	9,3 %
P	0,1	0,6	0,3

 

2)  = 3, P = 15800; n = 1 год, S₁ = 16800, S₂ = 17000, n_1, n₂ -независимые дискретные случайные величины:

 

 

n1, лет	1/12	1/4
P	0,7	0,3

 

n2, лет	1/4	1/3	1/2
P	0,5	0,4	0,1

 

Если n₁ = 1/12, то ₁   R (3 %; 4,2 %), если n₁ = 1/4, то ₁   R (5 %; 6,2 %), если n₂ = 1/4, то ₂ R (5 %; 6,2 %); n₂=1/3, то ₂ R (6 %; 7 %);

если n₂ = 1/2, то ₂   R (6,5 %; 7,8 %). Если n₃  0,5, то ₃ R (5 %; 7,8 %); если n₃ > 0,5, то ₃   R (6 %; 8 %).

 

Задание3.

По 1000 реализаций S вычисленных по формуле (3), оценить числовые характеристики S: S_min, S_max, E{ S}, D{ S}, P{ }, для следующих значений параметров, входящих в правую часть формулы (3):

  = 2, n₁ = n₂ = 2 года, P = 10000, S₁ = 13900, S₂ = 14100;,– независимые случайные величины, ₁   R (9 %; 10,2 %), ₂ Tr (8 %,12 %; 9 %,10 %);

2)   = 3, P = 20800; n = 6 лет, n₁ = 2 года, ₁ = 9 %, n₂ - дискретная случайная величина:

 

n2, годы	1	2
P	0,8	0,2

 

если n₂ = 1, то

 

2	9 %	9,1 %	9,3 %
P	0,7	0,2	0,1

 

если n₂ = 2, то

 

2	9,2 %	9,3 %	9,4 %
P	0,6	0,3	0,1

 

если n₃ = 3, то ₃ =10 %, если n₃ = 2, то ₃ = 9,2 %.

 

Задание 4.

По 10000 реализаций P, вычисляемых по формуле (2), оценить числовые характеристики современной величины P наращенной суммы S: P_min, P_max, E{ P}, D{ P}, P{ }, для следующих значений параметров, входящих в правую часть формулы (2):

1)   = 4, n₁ = n₂ = n₃ = n₄ = 0,25 года, ставки процентов, измеренные в долях, измеряются в начале каждого квартала по цепной зависимости Маркова с трендом: i_k = f(k) + , k = 1, 2, 3, 4, где f(k) = 0,05 + 0,001(k - 1) - тренд, характеризующий общую тенденцию изменения ставок процентов, -маржа, измеряющаяся по цепной зависимости Маркова, с двумя состояниями. В первом состоянии  принимает значение 0,005, во втором - значение 0,01. Вектор вероятностей начальных состояний , матрица одношаговых переходов имеет следующие компоненты: p₁₁ = 0,7; p₁₂ = 0,3; p₂₁ = 0,2; p₂₂ = 0,8. Наращенная сумма S = 10000, P₁ = 9600, P₂ = 9700;

 Оцените числовые характеристики начальной суммы P, вычисляемой по формуле (4) с теми же значениями параметров, что и в пункте 1).

 

Задание 5.

Вексель на сумму S = 245000 может быть учтен в банке за 120 дней до его погашения с вероятностью 0,6, но тогда банковская учетная ставка d будет описываться дискретной случайной величиной

 

d	6 %	6,2 %	6,4 %
P	0,7	0,2	0,1

 

за 80 дней до его погашения с вероятностью 0,2 и в этом случае

 

d	6,5 %	6,8 %	7 %
P	0,6	0,2		0,2

 

за 40 дней до его погашения с вероятностью 0,2 и в этом случае d R (7,5 %; 9 %).

. По 1000 реализаций P,вычисленных по формуле (3), оценить числовые характеристики P: P_min, P_max, E{ P}, D{ P}, P{200000  220000}.