Моделирование случайных величин с заданной гистограммой

 

Гистограммой  называется непараметрическая оценка плотности p (x) НСВ по выборке реализаций  данной случайной величины, вычисленная по формуле:

= (48)

 

где K – число ячеек гистограммы; [z ] - k-я ячейка(  - порядковые статистики), с_k значение гистограммы в k-ой ячейке, I_A(x)={0, если x A; 1, если x A}. Значение с_k – это нормированная относительная частота попадания реализации из выборки {x_i} в k-ую ячейку гистограммы:

с_k=

 

Известно, что оценка (48) в общем случае является смешанной и несостоятельной, однако на практике графическое изображение (48) используется для визуализации распределения выборки.

Пусть по выборке реализаций{x_i} СВ , полученных в результате натурных или физических экспериментов, построена гистограмма(48). Опишем алгоритм моделирования реализаций  по заданной функции .

 

Алгоритм моделирования

 

Обозначим: p_i =P . Из (48)и условия нормировки следует, что: , , q _{k =1.} Тогда функция распределения, соответствующая плотности  вида(48) определяется по формуле:

F(x)=

 

 

Алгоритм моделирования основан на методе обратной функции и включает следующие шаги:

 моделирование реализации а БСВ;

 принятие решения о том, что реализацией СВ  является величина , вычисляемая по формуле:

=F^-1(a)=z_k-1 + ,(49)

если

Обычно полагают: p_k=const=1/K(). При этом в выражении (49) имеем: k=[Ka] + 1.

Коэффициент использования БСВ k=1/

 

Моделирование случайных величин с заданным полигоном частот

 

Данный метод можно рассматривать как модификацию метода моделирования СВ с заданной гистограммой(см. соответствующий раздел). Гистограмма – разрывная(кусочно-постоянная) функция, в то время как истинная плотность p (x) является непрерывной. Это является причиной смещенности и несостоятельности гистограммы как оценки плотностей. В связи с этим будем в качестве оценки плотности использовать непрерывную кусочно-линейную функцию , получающуюся путем сглаживания гистограммы и называемую полигоном частот. Определим функцию  и опишем основанный на ней алгоритм моделирования НСВ.

Пусть гистограмма плотности p (x) по выборке {x_i}()имеет K ячеек {[z_k-1,z_k]}, (), и c_k – значение гистограммы в ячейке(см. раздел «Моделирование СВ с заданной гистограммой»). Полигон частот ,имеет K+1 ячейку {[ ]} с границами:

.

 

Аналитическое выражение функции ,

=

где полагается с₀=с_k+1=0.

Площадь области S, ограниченной кривой y=  и осью абсцисс, равна:

S=

Заметим, что если z_k-z_k-1=const=h, то  и S=1, p (x)= .

Функция распределения F(x), соответствующая плотности , имеет вид:

F(x)=

 

Задания

 

Равномерное распределение

 

Осуществить моделирование n реализаций CB ξ ~ R (a, b) и исследовать точность моделирования. Положить: a =5, b =10, n =100.