Дискретное равномерное распределение

 

5. Для выборочного контроля качества штучной продукции требуется извлечь случайную выборку единиц продукции объема n из контролируемой партии. Партия продукции включает N контейнеров по L ящиков в каждом. Один контейнер содержит K единиц продукции . При формировании выборки необходимо обеспечить равновероятный выбор каждой единицы продукции из партии. Сформировать возможные планы контроля, включающие: номер контейнера, номер ящика и номера единиц продукции в ящике. Нумерация ящиков в контейнерах, а также единиц продукции в ящиках, - автономная. Положить: N = 5, L = 20, K = 100, n = 50.

 

6. Осуществить моделирование 20 десятизначных номеров серий лотереи, используя алгоритм моделирования дискретного равномерного распределения. Исследовать точность моделирования.

 

 

Моделирование непрерывных случайных величин (НСВ)

 

Понятие НСВ. Универсальные методы моделирования НСВ.

 

Понятие НСВ.

 

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется случайная величина имеющая абсолютно-непрерывное распределение вероятности, описываемое функцией распределения

и плотностью распределения

Основными числовыми характеристиками НСВ  являются:

1. среднее значение ;

2. дисперсия .

На практике для описания НСВ используются модельные непрерывные законы распределения с функциональными характеристиками, заданными в параметрическом виде:

,

где  - параметр распределения.

В пакете СТАТМОД реализованы алгоритмы моделирования НСВ для следующих модельных законов распределения.

 

1. равномерное распределение;

2. одномерное нормальное распределение;

3. лог - нормальное распределение;

4. экспоненциальное распределение;

5. распределение Вейбулла-Гнеденко;

6. распределение Лапласа;

7. гамма-распределение;

8. бета- распределение;

9. распределение Коши;

10. логистическое распределение;

11. - распределение;

12. распределение Стьюдента;

13. распределение Фишера.

 

Во многих практических задачах выборку наблюдений нельзя считать однородной, поскольку выборочные наблюдения соответствуют не одной, а нескольким моделям. Распределение такой выборки описывается смесью распределений. В связи с этим актуальной задачей является задача моделирования смеси распределений. Алгоритм моделирования смеси двух нормальных распределений реализован в ППП СТАТМОД.

Основными методами построения моделирующих алгоритмов для указанных законов распределения являются:

1. метод обратной функции;

2. метод исключения;

3. метод функциональных преобразований,

и другие методы, основанные на учете свойств распределений.

В приложениях часто возникает задача моделирования НСВ  в условиях априорной неопределенности, когда плотность  неизвестна. В этих случаях может осуществляться:

1. моделирование СВ с заданной гистограммой;

2. моделирование СВ с заданным полигоном частот.

Гистограмма и полигон частот выступают как оценки плотности, построенные по имеющейся выборке экспериментальных данных.

Универсальными методами проверки точности моделирования НСВ являются критерии согласия (  - Пирсона, Колмогорова и др.), а также критерии серий, реализованные в пакете.

Графические методы анализа точности моделирования НСВ включают:

1. анализ гистограммы частот распределения;

2. анализ эмпирической функции распределения.

 

Дадим характеристику перечисленным выше универсальным методам моделирования и проверки точности моделирования НСВ.

 

Метод обратной функции.

 

Метод обратной функции является одним из универсальных методов моделирования НСВ  с заданной плотностью  и функцией распределения . Приведем математическое обоснование метода и сформулируем моделирующий алгоритм.

Пусть  - строго монотонная возрастающая функция. Найдем обратную функцию , решая относительно  следующее уравнение:

.

Известно, что, если  - БСВ, то СВ , определяемая выражением:

,

имеет заданную плотность  (функцию распределения ).

Таким образом, имеет место следующий алгоритм моделирования:

Моделируется реализация БСВ .

Принимается решение о том, что реализацией СВ  является величина , определяемая в соответствии с (14) по формуле:

.

Коэффициент использования БСВ .

На этом методе основываются алгоритмы моделирования НСВ со следующими распределениями, реализованными в ППП СТАТМОД: равномерным, экспоненциальным, Лапласа, Вейбулса-Гнеденко, Коши, логистическое, гамма-распределение.

 

Метод исключения

 

В тех случаях, когда плотность распределения  моделируемой НСВ  имеет сложный аналитический ряд, нахождение функции распределения , а тем более обратной функции  затруднительно, что делает невозможным применение метода обратной функции для моделирования СВ /

В этом случае может оказаться полезным другой универсальный метод моделирования, называемый методом исключения (или методом Дж.Неймана). Опишем моделирующий алгоритм, основанный на данном методе.

Обозначим:  - область, ограниченная кривой  и осью абсцисс. Определим мажорирующую функцию  и область . Заметим, что мажорирующая функция должна иметь значительно более простой аналитический вид, чем . Область  при этом имеет также простой вид (треугольный, прямоугольный), позволяющий легко моделировать случайный вектор , равномерно распределённый в области (например, при помощи метода обратной функции).

Алгоритм моделирования, основанный на методе исключения, включает следующие этапы:

1. Подбор мажорирующей функции ;

2. Моделирование реализации  случайного вектора  с равномерным распределением в области ;

3. Принятие решения о том, что реализацией  является  при выполнении следующего условия:

.

Запись  означает, что точка с координатами  принадлежит области . Точки , не попавшие в , исключаются из рассмотрения. Отсюда происходит название метода.

Для моделирования случайного вектора  с равномерным распределением в области  полагают:

где:  - мера Лебега (площадь) области ;

 - индикаторная функция.

Моделирование СВ  и (при условии, что ) осуществляется по методу обратной функции.

Средний коэффициент использования БСВ , где - количество БСВ (обычно ), используемых для получения одной реализации  случайного вектора .

В ППП СТАТМОД данный метод используется для построения одного из алгоритмов моделирования гамма - распределения.