Моделирование случайных величин

 

Моделирование базовых случайных величин (БСВ)

Понятие БСВ

Базовой случайной величиной (БСВ) непрерывная СВ , равномерно распределённая на полуинтервале [0,1).

Равномерный на [0,1) закон обозначается R(0,1).

БСВ имеет следующие функциональные и числовые характеристики:

 

· функция распределения:

 

 

· плотность распределения:

 

 

· математическое ожидание (среднее значение):

 

 

· дисперсия:

 

 

 

Датчики БСВ

 

Для моделирования на ЭВМ реализаций БСВ используются специальные программы, называемые программными датчиками БСВ.

В основе программных датчиков БСВ лежат рекуррентные формулы вида:

 

       (2)

 

где -- заданные «стартовые» значения. Соотношение (2) описывает детерминированный алгоритм, однако при соответствующем подборе преобразования получаемые на его основе псевдослучайные числа по своим функциональным и числовым характеристикам близки к БСВ.

Алгоритмы моделирования вида (2) обладают общим недостатком: начиная с некоторого момента последовательность псевдослучайных чисел образует цикл, который повторяется бесконечное число раз. Длина Т циклически повторяющейся последовательности называется периодом датчика БСВ.

Период Т и коэффициент использования БСВ  являются основными показателями качества программных датчиков БСВ. Лучшим датчикам соответствуют большие значения Т и .

В пакете СТАТМОД реализованы два программных датчика БСВ, основанные на мультипликативном конгруэнтном методе и методе Макларена-Марсальи.

 

Мультипликативный конгруэнтный метод

 

Согласно этому методу псевдослучайная последовательность реализаций  БСВ определяется по рекуррентным формулам:

 

          (3)

 

где -- параметры датчика (натуральные числа): -- множитель ( <M), M – модуль, -- стартовое значение (нечётное число).

Операция  означает вычет числа по модулю М:

 

 

где [ ] – целая часть числа .

Период датчика Т ; коэффициент использования БСВ =1. значения параметров  определяются из условия максимума периода Т. значение М зависит от способа представления целых чисел в ЭВМ. Типовые значения параметров:

 

 

Метод Макларена-Марсальи

 

Метод основан на комбинировании двух простейших программных датчиков БСВ (например, мультипликативных конгруэнтных).

Пусть – псевдослучайные последовательности, порождаемые независимо работающими датчиками; -- результирующая псевдослучайная последовательность реализаций БСВ; -- вспомогательная таблица  чисел.

Процесс вычисления включает следующие этапы:

 

· первоначальное заполнение таблицы :

 

 

· случайный выбор из таблицы:

 

 

· обновление табличных значений:

 

 .

 

Данный метод позволяет ослабить зависимость между членами псевдослучайной последовательности и получить сколь угодно большие значения её периода Т при условии, что периоды Т₁, Т₂ исходных датчиков являются взаимно простыми числами. Коэффициент использования БСВ для данного датчика =1/2 (за исключением первой реализации, для моделирования которой используется  реализация).