Формула для векторного произведения векторов

Через проекции перемножаемых векторов.

Запишем вектора  и  в декартовом базисе:

 и .

	0
		0
			0

Для доказательства формулы теоремы составим таблицу векторных произведений ортов осей

 

Используя эту таблицу, вычислим векторное произведение векторов  и :

=

.

Отсюда следует, что ; ; . Для запоминания этих формул существует мнемоническое правило: надо запомнить переход проекций от одной к другой ; для нахождения, например проекции , надо взять компоненту  первого вектора и умножить на компоненту  второго вектора, а затем вычесть их произведение, обменяв местами обозначение компонент. С другой стороны, полученную формулу можно записать в виде

.

Полученное выражение представляет собой раскрытие определителя III порядка по элементам первой строки, т. е. .

Пример 1. Найти, при каком значении параметра  вектор  колли-неарен вектору .

Согласно свойству 4 для векторного произведения найдем векторное произведение заданных векторов

= .

Так как вектор должен быть нулевым, то все его проекции должны быть рав-ными нулю, следовательно, .

Пример 2. Найти векторное произведение векторов  и .

= .

Приложения векторного произведения.

1. Физика. Пусть точка начала вектора  закреплена, а к его концу приложена сила , тогда момент этой силы будет равен  (рис. 11).

                                                             

        

                                                                         

 

                                                                 

Рис. 11. Момент силы .

2. Геометрия. Даны три точки , и . Требуется вычислить площадь треугольника  (рис. 14). Введем в рассмотрение вектора  и .

                                             

                                           

 

                                                    

                               Рис. 12. Площадь треугольника .

Проекции векторов равны  и .

Так как площадь треугольника составляет половину от площади параллелограмма, площадь которого равна модулю векторного произведения векторов  и , то

.

Пример 3. Даны три точки ,  и . Вычислить площадь треугольника .

Введем в рассмотрение вектора  и , вычислим их векторное произведение

  = .

Следовательно, площадь треугольника равна .

3. Тригонометрия. Выведем формулу для .

Пусть в плоской декартовой системе координат даны вектора  и , которые образуют с положительным направлением оси  углы  и , соответственно (рис. 13).

                                               

 

                                                      

                                                                                   

                                                

                                                          

 

                                Рис. 13. Синус суммы двух углов.

Проекции векторов равны

 и .

Используя формулу для векторного произведения векторов и свойство 4 для определителей, получим . Раскрыв этот определитель по элементам третьего столбца, получим . Длина этого вектора равна . С другой стороны, по определению векторного произведения его длина равна . Сравнивая две полученные формулы, получаем формулу для синуса суммы двух углов. В частности, при  получаем, что .