Матричный способ решения СЛАУ.

Для решения СЛАУ матричным способом введем в рассмотрение матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных , матрицу-стол-бец неизвестных  и матрицу-столбец свободных коэффициентов . Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде . Матричный способ решения СЛАУ состоит в следующем: умножим слева матричное уравнение на обратную матрицу  к матрице , получим ; в силу того, что произведение  и , найдем . Таким образом, для нахождения неизвестных матричным способом, надо найти обратную к  матрицу , после чего надо умножить эту матрицу на матрицу-столбец свободных коэффициентов.

Пример 2. Решить СЛАУ матричным способом .

Введем в рассмотрение следующие матрицы ; ; . Найдем матрицу (см. «Матрицы») обратную к матрице : найдем детерминант матрицы . Найдем алгебраические дополнения всех элементов :

   

          

          .

Запишем обратную матрицу (в правильности нахождения обратной матрицы убедиться самостоятельно). Подействуем найденной матрицей на матрицу-столбец свободных коэффициентов :

.

Отсюда находим, что . После нахождения решения СЛАУ надо сделать проверку.

Метод Гаусса.

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в том, чтобы за счет элементарных преобразований привести СЛАУ к треугольному виду. Покажем использование расширенной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и расширенной за счет столбца свободных коэффициентов, для приведения СЛАУ к треугольному виду на примере системы, рассматриваемой в этом разделе. Расширенная матрица для СЛАУ Примера 1 имеет вид: . В методе Гаусса желательно, чтобы первая строка расширенной матрицы начиналась с единицы. Обменяем в расширенной матрице первую и вторую строки местами, получим . Приведем матрицу к треугольному виду, выполнив следующие преобразования:

– умножим элементы  первой  строки  на  и  прибавим к соответствующим эле-

ментам второй строки . Разделим все элементы второй строки на , получим .

– умножим элементы первой строки на  и прибавим к соответствующим элементам третьей строки . Разделим все элементы третьей строки

на , получим .

Таким образом, эквивалентная СЛАУ имеет вид (напомним, что первый столбец это коэффициенты при неизвестной , второй – при неизвестной , третий – при неизвестной , а за вертикальной чертой находится столбец свободных коэффициентов): . Из первого уравнения находим, что .

Вывод: Из вышеизложенного материала следует, что вне зависимости от способа решения СЛАУ всегда должен получаться один и тот же ответ.

Самостоятельная работа № 1«Основы  линейной  алгебры»

1. Решить неравенство или уравнение.

2. Вычислить определитель четвертого порядка, преобразовав его так, чтобы три элемента некоторого ряда равнялись нулю, и вычислить полученный определитель по элементам этого ряда.

3. Решить по формулам Крамера систему линейных алгебраических уравнений.

4. Решить матричным способом систему линейных алгебраических уравнений.

5. При каких значениях параметров  и  система имеет: а) единственное решение; б) не имеет решений; в) бесчисленное множество решений.

Вариант 1

1) ;                      2) ;        

3) ;    4) ;     5) .        

Вариант 2

1) ;                                 2) ;   

3) ;    4) ;     5) .

Вариант 3

1) ;                            2) ;

3)            4) ;     5) .

Вариант 4

1) ;                         2) ; 

3) ;     4) ;         5) .

Вариант 5

1) ;                            2) ;

3) ;     4) ;     5) .

Вариант 6

1) ;                         2) ; 

3) ;   4) ;     5) .

Вариант 7

1) ;                     2) ;  

3) ;    4) ;       5) .

Вариант 8

1) ;                 2) ;   

3) ;      4) ;    5) .

Вариант 9

1) ;                            2) ;

3) ;      4) ;         5) .

Вариант 10

1) ;                              2) ;  

3) ;      4) ;       5) .

Вариант 11

1) ;                           2) ;   

3) ;     4) ;      5) .

Вариант 12

1) ;                               2) ;

3) ;      4) ;        5) .

Вариант 13

1) ;                   2)   

3) ;    4) ;       5) .

Вариант 14

1) ;                  2) ;  

3) ;   4) ;         5) .

Вариант 15

1) ;                            2) ;   

3) ;   4) ;         5) .

Вариант 16

1) ;                       2) ;   

3) ; 4) ;           5) .

Вариант 17

1) ;                     2) ;   

3) ;    4) ;           5) .

Вариант 18

1) ;                        2) ;   

3) ;  4) ;           5) .

Вариант 19

1) ;                        2) ;   

3) ;  4) ;           5) .

Вариант 20

1) ;              2) ;   

3) ; 4) ;          5) .

Вариант 21

1) ;                 2) ;  

3) ;  4) ;           5) .

Вариант 22

1) ;                          2) ;   

3) ; 4) ;          5) .

Вариант 23

1) ;                               2) ;   

3) ; 4) ;           5) .

Вариант 24

1) ;                            2) ;   

3) ;   4) ;            5) .