Скалярное произведение векторов.

О3. Скалярным произведением двух векторов  и  называется число (скаляр) равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между этими векторами: , где  – угол между векторами  и .

Пример 1. Вычислить скалярное векторов  и , если их длины равны 2 и 5, соответственно, а угол между векторами равен .

Используя определение скалярного произведения, находим .

З2. Используя определения проекции и скалярного произведения двух векторов, можно записать, что . Откуда можно найти проекцию одного вектора на другой, например, .

Рассмотрим свойства скалярного произведения:

1. ; 2. ; 3. ;  

4. ; 5. Если вектор  перпендикулярен вектору  (), то их скалярное произведение равно нулю: . Свойство 5 определяет условие перпендикулярности векторов.

Формула для скалярного произведения векторов

Через проекции перемножаемых векторов.

	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

Пусть даны вектора  и :  и . Составим таблицу скалярных произведений ортов осей

 

Используя эту таблицу, вычислим скалярное произведение векторов  и :

=

                                                                   

                                                                        

.

Сл1. Если вектор перпендикулярен вектору  (), то их скалярное произведение равно нулю, то есть .

Сл2. Если  - угол между векторами  и , то .

 

Сл3. Проекция вектора  на произвольную ось () равна скалярному произ-ведению вектора  на орт этой оси: .

Пример 2. Найти, при каком значении  вектора  и  перпендикулярны.

Условием перпендикулярности векторов является обращение в нуль их скалярного произведения, поэтому воспользуемся следствием 1 из теоремы 2:

.

“Векторное и смешанное произведения векторов”

Векторное произведение.

О2. Тройка векторов , и  называется правой (левой), если обход векторов ,  и  происходит против (по) часовой стрелке (рис. 9).

Пример 1.

                                         а)                                               б)

 

                                                                                       

                                                                                                 

                 Рис. 9. Правая (а) и левая (б) тройки векторов.

О3. Векторным произведением  и  называется вектор , который

– по модулю численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и ;

– перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и ;

– тройка векторов , и является правой.

Из определения векторного произведения следует, что направление вектора  определяется по правилу правого винта: при вращении вектора  к вектору  правый винт движется в направлении вектора . Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах и  (рис. 10):

                                                  

                                             

                                                           

                                             

Рис. 10. Площадь параллелограмма, определяющего длину вектора .

Из треугольника  высота , тогда , следовательно, длина вектора  равна , где  - угол между векторами и .

Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1. ; 2. ; 3. ;  

4. Если вектор коллинеарен вектору  (  или ), то их векторное произведение равно нулю: . Свойство 4 определяет второе условие коллинеарности векторов.