Проекция вектора на произвольную ось.

Пусть дана ось  и вектор (рис. 5). Проведем через начало вектора  прямую, которая параллельна оси , угол между прямой и вектором  обозначим через .

                                                       

                                                                    

 

                                                                                  

                               Рис. 5. Проекция вектора на заданную ось.

Из начала и конца вектора  опустим на ось  перпендикуляры, получим отрезок .

О9. Проекцией вектора  на ось  называется длина отрезка , взятая со знаком «+», если угол , и со знаком «-», если .

Из рисунка видно, что отрезок , следовательно, . Из этой формулы видно, что при  величина , а при  ве-

личина . При  (или ) проекция равна нулю, т. е. .

Декартова система координат и вектора.

О10. Направленная прямая с выбранным началом отсчета и масштабом из-мерения называется числовой осью.

О11. Две (три) взаимно перпендикулярные числовые оси называются декартовой системой координат на плоскости (в пространстве).

Рассмотрим декартову систему координат на плоскости и спроектируем вектор

 

 на координатные оси (рис. 6):

                                                  

                                                         

                                                             

                                              

                                                        

 

                                                             

Рис. 6. Проекции вектора на оси декартовой системы координат.

Из рисунка видно, что проекции вектора  на ось абсцисс () равна , проекция на ось ординат ()  (в пространстве проекция на ось аппликат () – ).

О12. Проекции  называются координатами вектора .

Используя теорему Пифагора, найдем длину вектора

.

4. Направляющие косинусы вектора .

Обозначим углы, которые образует вектор  с положительными направлениями координатных осей пространственной декартовой системы отсчета через , , .

Тогда ; ; .

О13. Величины , ,  называются направляющими косинусами вектора .

Вычислив квадрат модуля вектора , найдем соотношение, которое связывает направляющие косинусы вектора

.

5. Способы задания вектора.

1. Задаются координаты начальной и конечной точек вектора : и . Тогда : .

2. Задаются координаты вектора : .

3. Задаются длина вектора и два любых угла, которые образует вектор  с какими-либо координатными осями и знак одной из проекций: , . Тогда

, , ,

но так как по условию , то . Следовательно, .

Деление отрезка в заданном отношении.

 Пусть в пространственной декартовой системе отсчета даны две точки  и . Требуется найти на отрезке такую точку , чтобы , где  – заданное число.

                                                      

                                                                

                                                                      

                                                                        

                                                                               

                                         

Рис. 7. Деление отрезка в заданном отношении.

Из рис. 7 видно, что .

В силу того, что  и , то . Подставляя это равенство в систему и исключая вектор , найдем, что . Отсюда найдем вектор : . В проекциях на координатные оси это равенство равносильно системе равенств , которая определяет деление отрезка в заданном отношении. Если точка  делит отрезок  пополам (), то система полученных равенств принимает вид известный из курса математики средней школы .

“Скалярное произведение векторов и его свойства”

Понятие базиса.

О1. Любые два (три) неколлинеарных (некомпланарных) вектора образуют базис.

В трехмерном пространстве произвольный вектор  разлагается по базису векторов ,  и  так: , причем единственным образом; , ,  – вещественные числа.

О2. Ортом направления оси () называется вектор единичной длины в выбранном масштабе измерения, сонаправленный с этой осью ().

Рассмотрим пространственную декартову систему координат, по всем осям (абсцисс – , ординат –  и аппликат – ) выберем одинаковый масштаб измерения. Вдоль положительного направления каждой оси отложим отрезки единичной длины. Обозначим орты осей:  –  через ,  –  через ,  – через  (рис. 8). Так как вектора ,  и  некомпланарные, то они образуют базис и любой пространственный вектор единственным образом разлагается по этому базису, причем в качестве чисел ,  и  выступают проекции вектора на соответствующие оси: .

                                                           

 

                                                          

                                                                        

                                                        

                                              

Рис. 8. Орты (единичные вектора) декартовой системы координат.