Тема: Основы линейной алгебры

(О – определение; Т – теорема; Сл. – следствие.)

“Определители и их свойства”

О1. Определителем порядка n называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы, имеющей n строк и n столбцов, которая вычисляется по определенному правилу:

                                             побочная диагональ

                                                   

 .

                                                   главная диагональ

Числа  называются элементами определителя,  – нумератор строки  – нумератор столбца. Элементы с одинаковым нумератором  образуют строки, а элементы с одинаковым нумератором  – столбцы. Элементы с равными нумераторами  образуют главную диагональ. Другая диагональ квадратной таблицы, начинающаяся в левом нижнем углу и заканчивающаяся в правом верхнем углу, называется побочной.

О2. Определителем II порядка называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы размером 2 х 2, то есть имеющей 2 строки и 2 столбца.

Определитель II порядка вычисляется по правилу: из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, надо вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали: .

Пример 1.

О3. Определителем III порядка называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы размером 3 х 3, то есть имеющей 3 строки и 3 столбца.

Определитель III порядка вычисляется по правилу Саррюса: за определителем выписывают первый и второй столбцы, затем из суммы произведений эле-ментов, стоящих на главной диагонали и ей параллельных диагоналях, надо вычесть сумму произведений элементов, стоящих на побочной диагонали и ей параллельных:

Пример 2.

О4. Минором  элемента  называется определитель порядка , который получается из исходного определителя порядка  путем вычеркивания строки  и столбца , на пересечении которых стоит элемент :

… …

… …      

…………………...

…  …

…………………..

…  …

Пример 3. Найти миноры элементов  и  определителя из Примера 2.

Вычеркивая в определителе строку 1 и столбец 2, получим минор . Поступая аналогично со строкой 3 и столбцом 3, получим минор .                  

Пример 4. Найти миноры элементов  и  определителя .

Исходя из определения минора, получаем , .

О5. Алгебраическим дополнением  элемента  называется произведение минора этого элемента на , то есть .

Из определения алгебраического дополнения следует, что алгебраическое дополнение совпадает со своим минором, если сумма  является четным числом, и противоположно ему по знаку, если сумма  есть нечетное число.

06. Транспонированным определителем го порядка называется определитель порядка , полученный из исходного определителя путем замены строк на соответствующие столбцы, а столбцов на соответствующие строки.

Если , то .

Пример 5. Найти определитель, транспонированный к определителю

. Используя определение транспонированного определителя, находим, что .

Наиболее важными свойствами определителей являются следующие свойства: