Тема: Основы линейной алгебры

Специальностей ОМД и ТО

физико-металлургического факультета

Донецк

 

УДК 51

 

    На протяжении многих лет ведущие преподаватели кафедр «Высшая математика» и «Математическая физика» разрабатывали методические указания и индивидуализированные задания для самостоятельной работы студентов всех специи-альностей, обучение по которым проводится в Донецком национальном техническом университете. Основными работами преподавателей кафедр «Высшая математика» и «Математическая физика» являются:

1. Методические указания к организации самостоятельной работы при изучении линейной алгебры и аналитической геометрии. – Н.Г. Плаксина, С.Н. Мартынова. – Донецк: ДПИ, 1988. – 44с.

2. Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу „Высшая математика” – Н.С. Ищенко, Н.Г. Плаксина, В.Я. Шварц. – Донецк: ДПИ, 1983. – 28с.

3. Методические указания к выполнению типовых расчетов по курсу „Высшая математика”(I семестр). – Н.С. Ищенко, О.П. Кирсанова, Л.М. Шевченко. – Донецк: ДПИ, 1984. – 68с.

4. Задания к индивидуальным практическим занятиям по разделу курса высшей математики „Дифференциальное исчисление”. – Ю.Л. Носенко, Л.М. Шевченко. – До-нецк: ДПИ, 1987. – 36с.

5. Задания к индивидуальным практическим занятиям по разделу курса высшей математики „Интегральное исчисление”. – Ю.Л. Носенко, Н.П. Носенко. – Донецк: ДПИ, 1986. – 56с.

6. Методические указания по курсу „Высшая математика” (Раздел „Функции нескольких переменных”). – Н.Г. Плаксина, С.Н. Мартынова. – Донецк: ДПИ, 1992. – 44с.

7. Методические указания к типовым расчетам по разделу курса высшей мате-матики „Обыкновенные дифференциальные уравнения”. – Н.Г. Плаксина – Донецк: ДПИ, 1987. – 44с.

8. Методические указания по организации самостоятельной работы студентов при изучении курса высшей математики. Раздел „Ряды”. – Н.П. Носенко, Ю.Л. Носенко. – Донецк: ДПИ, 1988.- 40с.

9. Методические указания к выполнению типового расчета по курсу теории вероятностей, ч.1(2). – А.К. Зубченко. – Донецк: ДПИ, 1983(84). – 42с.(48с.)

10. Методические указания к выполнению семестрового индивидуального задания по математической статистике. – Ю.Ф. Косолапов, Н.Г. Плаксина. – Донецк: ДПИ, 1989. – 48с.

В связи с тем, что при выдаче индивидуализированных заданий на семестр позволяет студентам спланировать время на их выполнение, возникла необходимость в дополнение к изданным методическим указаниям собрать задания для самостоятельной работы в едином сборнике. Кроме того, в связи с уменьшением времени, отводимого на изучение курса высшей математики в техническом университете, ряд заданий был исключен, преобразован, заменен другими примерами. На выполнение каждой самостоятельной работы отводится определенное количество времени согласно учебному плану для данной специальности.   

 

1 курс1 семестр

Тема: Основы линейной алгебры

“Определители и их свойства”

“Матрицы и действия с ними”

“Методы решения систем линейных алгебраических уравнений”

Тема: Элементы векторной алгебры

“Векторы. Проекции”

“Скалярное произведение векторов и его свойства”

“Векторное и смешанное произведения векторов”

Тема: Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

“Прямая на плоскости. Основные задачи”

“Кривые второго порядка”

“Преобразования декартовой системы координат. Полярная система координат”

 “Плоскость в пространстве”

“Прямая в пространстве”

Метод Крамера.

О1. Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение , где числа  называются коэффициентами при неизвестных , а числа  называются свободными коэффициентами.

О2. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы .

Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный опре-делитель на , для этого умножим все элементы первого столбца на эту неиз-вестную: .

Второй столбец умножим на , третий столбец – на , …, -ый столбец – на  и все эти произведения прибавим к первому столбцу, при этом произведение  не изменится: .

 

Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет

собой столбец свободных коэффициентов, то есть .

О3. Определитель  называется первым вспомогательным определителем СЛАУ.

Поступая аналогично найдем все вспомогательные определители СЛАУ:

.

Для того чтобы найти вспомогательный определитель , надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец  на столбец свободных коэффициентов.

О4. Полученные выше соотношения называются формулами Крамера.

Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины .

Проанализируем полученные формулы:

– если главный определитель системы отличен от нуля (), то система имеет единственное решение;

– если главный определитель системы равен нулю (), а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля (  или , или …, или ), то система не имеет решений (деление на нуль запрещено(!!!));

– если все определители системы равны нулю ( ), то система уравнений имеет бесчисленное множество решений.

Пример 1. Решить СЛАУ методом Крамера .

Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом . Найдем главный определитель СЛАУ . Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя

;

;

.

Воспользуемся формулами Крамера 

; ; .

После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляются в нормализованную си-стему линейных алгебраических уравнений. Выполним проверку

. Отсюда видно, что СЛАУ решена верно.

Метод Гаусса.

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в том, чтобы за счет элементарных преобразований привести СЛАУ к треугольному виду. Покажем использование расширенной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и расширенной за счет столбца свободных коэффициентов, для приведения СЛАУ к треугольному виду на примере системы, рассматриваемой в этом разделе. Расширенная матрица для СЛАУ Примера 1 имеет вид: . В методе Гаусса желательно, чтобы первая строка расширенной матрицы начиналась с единицы. Обменяем в расширенной матрице первую и вторую строки местами, получим . Приведем матрицу к треугольному виду, выполнив следующие преобразования:

– умножим элементы  первой  строки  на  и  прибавим к соответствующим эле-

ментам второй строки . Разделим все элементы второй строки на , получим .

– умножим элементы первой строки на  и прибавим к соответствующим элементам третьей строки . Разделим все элементы третьей строки

на , получим .

Таким образом, эквивалентная СЛАУ имеет вид (напомним, что первый столбец это коэффициенты при неизвестной , второй – при неизвестной , третий – при неизвестной , а за вертикальной чертой находится столбец свободных коэффициентов): . Из первого уравнения находим, что .

Вывод: Из вышеизложенного материала следует, что вне зависимости от способа решения СЛАУ всегда должен получаться один и тот же ответ.

Самостоятельная работа № 1«Основы  линейной  алгебры»

1. Решить неравенство или уравнение.

2. Вычислить определитель четвертого порядка, преобразовав его так, чтобы три элемента некоторого ряда равнялись нулю, и вычислить полученный определитель по элементам этого ряда.

3. Решить по формулам Крамера систему линейных алгебраических уравнений.

4. Решить матричным способом систему линейных алгебраических уравнений.

5. При каких значениях параметров  и  система имеет: а) единственное решение; б) не имеет решений; в) бесчисленное множество решений.

Вариант 1

1) ;                      2) ;        

3) ;    4) ;     5) .        

Вариант 2

1) ;                                 2) ;   

3) ;    4) ;     5) .

Вариант 3

1) ;                            2) ;

3)            4) ;     5) .

Вариант 4

1) ;                         2) ; 

3) ;     4) ;         5) .

Вариант 5

1) ;                            2) ;

3) ;     4) ;     5) .

Вариант 6

1) ;                         2) ; 

3) ;   4) ;     5) .

Вариант 7

1) ;                     2) ;  

3) ;    4) ;       5) .

Вариант 8

1) ;                 2) ;   

3) ;      4) ;    5) .

Вариант 9

1) ;                            2) ;

3) ;      4) ;         5) .

Вариант 10

1) ;                              2) ;  

3) ;      4) ;       5) .

Вариант 11

1) ;                           2) ;   

3) ;     4) ;      5) .

Вариант 12

1) ;                               2) ;

3) ;      4) ;        5) .

Вариант 13

1) ;                   2)   

3) ;    4) ;       5) .

Вариант 14

1) ;                  2) ;  

3) ;   4) ;         5) .

Вариант 15

1) ;                            2) ;   

3) ;   4) ;         5) .

Вариант 16

1) ;                       2) ;   

3) ; 4) ;           5) .

Вариант 17

1) ;                     2) ;   

3) ;    4) ;           5) .

Вариант 18

1) ;                        2) ;   

3) ;  4) ;           5) .

Вариант 19

1) ;                        2) ;   

3) ;  4) ;           5) .

Вариант 20

1) ;              2) ;   

3) ; 4) ;          5) .

Вариант 21

1) ;                 2) ;  

3) ;  4) ;           5) .

Вариант 22

1) ;                          2) ;   

3) ; 4) ;          5) .

Вариант 23

1) ;                               2) ;   

3) ; 4) ;           5) .

Вариант 24

1) ;                            2) ;   

3) ;   4) ;            5) .

Понятие базиса.

О1. Любые два (три) неколлинеарных (некомпланарных) вектора образуют базис.

В трехмерном пространстве произвольный вектор  разлагается по базису векторов ,  и  так: , причем единственным образом; , ,  – вещественные числа.

О2. Ортом направления оси () называется вектор единичной длины в выбранном масштабе измерения, сонаправленный с этой осью ().

Рассмотрим пространственную декартову систему координат, по всем осям (абсцисс – , ординат –  и аппликат – ) выберем одинаковый масштаб измерения. Вдоль положительного направления каждой оси отложим отрезки единичной длины. Обозначим орты осей:  –  через ,  –  через ,  – через  (рис. 8). Так как вектора ,  и  некомпланарные, то они образуют базис и любой пространственный вектор единственным образом разлагается по этому базису, причем в качестве чисел ,  и  выступают проекции вектора на соответствующие оси: .

                                                           

 

                                                          

                                                                        

                                                        

                                              

Рис. 8. Орты (единичные вектора) декартовой системы координат.

Векторное произведение.

О2. Тройка векторов , и  называется правой (левой), если обход векторов ,  и  происходит против (по) часовой стрелке (рис. 9).

Пример 1.

                                         а)                                               б)

 

                                                                                       

                                                                                                 

                 Рис. 9. Правая (а) и левая (б) тройки векторов.

О3. Векторным произведением  и  называется вектор , который

– по модулю численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и ;

– перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и ;

– тройка векторов , и является правой.

Из определения векторного произведения следует, что направление вектора  определяется по правилу правого винта: при вращении вектора  к вектору  правый винт движется в направлении вектора . Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах и  (рис. 10):

                                                  

                                             

                                                           

                                             

Рис. 10. Площадь параллелограмма, определяющего длину вектора .

Из треугольника  высота , тогда , следовательно, длина вектора  равна , где  - угол между векторами и .

Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1. ; 2. ; 3. ;  

4. Если вектор коллинеарен вектору  (  или ), то их векторное произведение равно нулю: . Свойство 4 определяет второе условие коллинеарности векторов.  

Специальностей ОМД и ТО

физико-металлургического факультета

Донецк

 

УДК 51

 

    На протяжении многих лет ведущие преподаватели кафедр «Высшая математика» и «Математическая физика» разрабатывали методические указания и индивидуализированные задания для самостоятельной работы студентов всех специи-альностей, обучение по которым проводится в Донецком национальном техническом университете. Основными работами преподавателей кафедр «Высшая математика» и «Математическая физика» являются:

1. Методические указания к организации самостоятельной работы при изучении линейной алгебры и аналитической геометрии. – Н.Г. Плаксина, С.Н. Мартынова. – Донецк: ДПИ, 1988. – 44с.

2. Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу „Высшая математика” – Н.С. Ищенко, Н.Г. Плаксина, В.Я. Шварц. – Донецк: ДПИ, 1983. – 28с.

3. Методические указания к выполнению типовых расчетов по курсу „Высшая математика”(I семестр). – Н.С. Ищенко, О.П. Кирсанова, Л.М. Шевченко. – Донецк: ДПИ, 1984. – 68с.

4. Задания к индивидуальным практическим занятиям по разделу курса высшей математики „Дифференциальное исчисление”. – Ю.Л. Носенко, Л.М. Шевченко. – До-нецк: ДПИ, 1987. – 36с.

5. Задания к индивидуальным практическим занятиям по разделу курса высшей математики „Интегральное исчисление”. – Ю.Л. Носенко, Н.П. Носенко. – Донецк: ДПИ, 1986. – 56с.

6. Методические указания по курсу „Высшая математика” (Раздел „Функции нескольких переменных”). – Н.Г. Плаксина, С.Н. Мартынова. – Донецк: ДПИ, 1992. – 44с.

7. Методические указания к типовым расчетам по разделу курса высшей мате-матики „Обыкновенные дифференциальные уравнения”. – Н.Г. Плаксина – Донецк: ДПИ, 1987. – 44с.

8. Методические указания по организации самостоятельной работы студентов при изучении курса высшей математики. Раздел „Ряды”. – Н.П. Носенко, Ю.Л. Носенко. – Донецк: ДПИ, 1988.- 40с.

9. Методические указания к выполнению типового расчета по курсу теории вероятностей, ч.1(2). – А.К. Зубченко. – Донецк: ДПИ, 1983(84). – 42с.(48с.)

10. Методические указания к выполнению семестрового индивидуального задания по математической статистике. – Ю.Ф. Косолапов, Н.Г. Плаксина. – Донецк: ДПИ, 1989. – 48с.

В связи с тем, что при выдаче индивидуализированных заданий на семестр позволяет студентам спланировать время на их выполнение, возникла необходимость в дополнение к изданным методическим указаниям собрать задания для самостоятельной работы в едином сборнике. Кроме того, в связи с уменьшением времени, отводимого на изучение курса высшей математики в техническом университете, ряд заданий был исключен, преобразован, заменен другими примерами. На выполнение каждой самостоятельной работы отводится определенное количество времени согласно учебному плану для данной специальности.   

 

1 курс1 семестр

Тема: Основы линейной алгебры

“Определители и их свойства”

“Матрицы и действия с ними”

“Методы решения систем линейных алгебраических уравнений”