Величина транспонированного определителя равна величине исходного определителя.

2. Перестановка местами двух строк (столбцов) изменяет знак определителя на противоположный.

3. Определитель, содержащий две (или более) одинаковых строки (столбца), равен нулю.

4. Для того чтобы умножить определитель на число , достаточно умножить на это число все элементы какой-либо одной строки (столбца). Обратно: если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель , то его можно вынести за знак определителя.

5. Если две каких-либо строки (столбца) пропорциональны, то определитель равен нулю.

6. Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то опреде-литель равен нулю.

7. Если элементы какой-либо строки (столбца) можно представить в виде двух слагаемых, то сам определитель можно представить в виде суммы двух определителей.

8. Если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на вещественное число  и прибавить к соответствующим элементам другой строки (соответственно, столбца), то величина определителя равна нулю.

9. (Метод раскрытия определителя по элементам какой-либо строки (столбца); универсальный способ вычисления определителя любого порядка). Определитель любого порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения: .

Пример 6. Вычислить определитель  по элементам 3 строки и по элементам 2 столбца.

Воспользуемся свойством 9: раскроем определитель по элементам 3 строки

.

Вычислим определитель по элементам 2 столбца

.

Отсюда видно, что свойство 9 является универсальным методом вычисления определителя любого порядка по элементам любой строки или столбца.

“Матрицы и действия с ними”

О1. Матрицей называется таблица чисел (выражений), имеющая m строк и n столбцов: .

В дальнейшем будем писать матрицу в сокращенном виде , где числа  называются матричными элементами,  – нумератор строк,  – нумератор столбцов, выражение  будем называть размерностью матрицы или ее структурой.

О2. Если матрица содержит m строк и 1 столбец, то она называется матри-цей-столбцом .

О3. Если матрица содержит 1 строку и n столбцов, то она называется мат-рицей-строкой .

Пример 1.  – матрица-столбец;  – матрица-строка.

О4. Матрица, у которой совпадает количество строк с количеством столбцов, называется квадратной.

Пример 2.  – квадратная матрица размерностью 2 х 2.

Всякой квадратной матрице соответствует определитель, составленный из тех же матричных элементов, который в теории матриц называется детерминантом матрицы .

О5. Транспонированной к исходной квадратной матрице называется такая матрица, строки которой заменены на соответствующие столбцы, а столбцы – на соответствующие строки.

Согласно свойству 1 для определителей для квадратных матриц детерминант исходной матрицы равен детерминанту транспонированной матрицы.

О6. Матрицу, у которой все элементы, стоящие под главной диагональю равны нулю, будем называть треугольной .

О7. Матрица, все элементы которой равны нулю, за исключением элементов, стоящих на главной диагонали, называется диагональной .

О8. Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой на главной диагонали все элементы равны единице, а остальные элементы равны нулю:

.

Над матрицами можно выполнять следующие действия:

1. Суммой (разностью) двух матриц  и   одинаковой структуры называется матрица той же размерности , элементы которой вычисляются по формуле: .

Пример 3. Найти сумму и разность матриц

.

Из приведенных матриц складывать (вычитать) можно только матрицы  и , которые имеют одинаковую структуру. Найдем сумму

и разность этих матриц

.

2. При умножении вещественного числа  на матрицу   все элементы матрицы умножаются на это число.

Пример 4. Умножить (-2) на матрицу .

Результат умножения имеет вид .

3. Произведением матриц  и  называется матрица , элементы которой вычисляются по формуле:: .

Перемножать можно лишь те матрицы, для которых количество столбцов первой перемножаемой матрицы совпадает с количеством строк второй перемножаемой матрицы. Матрица, получаемая в результате перемножения, имеет количество строк равное количеству строк первой матрицы и количество столбцов равное количеству столбцов второй матрицы.

Пример 5. Найти (если это возможно) произведение матриц

.

Матрица  имеет структуру , матрица – , матрица – . Согласно определению можно найти произведения . Не существуют произведения , .  Вычислим  произведение . Прежде  всего, определим

 

структуру результирующей матрицы: имеем размерности  и , убирая подчеркнутые цифры, получим структуру результирующей матрицы . Теперь вычислим ее элементы. Для того чтобы найти элементы результирующей матрицы, надо просуммировать произведения элементов выбранной строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй матрицы:

            

     .

Отсюда следует, что . Остальные возможные произведения найти самостоятельно.

Из приведенного примера видно, что в общем случае произведение матриц некоммутативно (неперестановочно), т. е. .

О9. Обратной матрицей к исходной квадратной матрице  называется

матрица  той же структуры, произведение которой с матрицей  коммутативно и равно единичной матрице, то есть .

Рассмотрим схему построения обратной матрицы :

– находят детерминант матрицы  (  – определитель матрицы );

– вычисляют алгебраические дополнения  (см. «Определители») всех элементов определителя ;

– записывают выражение для обратной матрицы .

Обращаем внимание на то, что матрица алгебраических дополнений записана в транспонированном виде.

Пример 6. Найти обратную матрицу к матрице .

Вычислим детерминант данной матрицы , раскроем этот определитель по элементам первой строки:

.

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов данного определителя:

     

   

.

Запишем обратную матрицу . Проверим правильность нахож-дения обратной матрицы, для чего воспользуемся ее определением. Умножим найденную матрицу на исходную матрицу, вычислим элементы результирующей матрицы

  .

Таким образом, , то есть обратная матрица вычислена верно.

“Методы решения систем линейных алгебраических уравнений”

Метод Крамера.

О1. Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение , где числа  называются коэффициентами при неизвестных , а числа  называются свободными коэффициентами.

О2. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы .

Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный опре-делитель на , для этого умножим все элементы первого столбца на эту неиз-вестную: .

Второй столбец умножим на , третий столбец – на , …, -ый столбец – на  и все эти произведения прибавим к первому столбцу, при этом произведение  не изменится: .

 

Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет

собой столбец свободных коэффициентов, то есть .

О3. Определитель  называется первым вспомогательным определителем СЛАУ.

Поступая аналогично найдем все вспомогательные определители СЛАУ:

.

Для того чтобы найти вспомогательный определитель , надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец  на столбец свободных коэффициентов.

О4. Полученные выше соотношения называются формулами Крамера.

Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины .

Проанализируем полученные формулы:

– если главный определитель системы отличен от нуля (), то система имеет единственное решение;

– если главный определитель системы равен нулю (), а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля (  или , или …, или ), то система не имеет решений (деление на нуль запрещено(!!!));

– если все определители системы равны нулю ( ), то система уравнений имеет бесчисленное множество решений.

Пример 1. Решить СЛАУ методом Крамера .

Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом . Найдем главный определитель СЛАУ . Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя

;

;

.

Воспользуемся формулами Крамера 

; ; .

После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляются в нормализованную си-стему линейных алгебраических уравнений. Выполним проверку

. Отсюда видно, что СЛАУ решена верно.