Тема 4. Комплексная форма ряда Фурье.

Рассмотрим периодическую функцию  с периодом , удовлетворяющую условиям Дирихле. Ряд Фурье, составленный для этой функции, имеет вид , где , , .

В приложениях ряды Фурье часто применяются в комплексной форме. Преобразуем ряд Фурье и его коэффициенты, используя формулы Эйлера, выражающие синус и косинус через показательную функцию: , .

Тогда получим:

. Обозначим .

Ряд Фурье принимает вид: (1). Определим комплексные коэффициенты этого ряда.

, ,

.

Замечание. В преобразованиях использованы формулы:

              .

Таким образом, формулу (1) можно записать в виде:

              (2), где .

Равенство (2) называется комплексной формой ряда Фурье.

Если  периодическая функция с периодом , то ряд Фурье в комплексной форме принимает вид:

   , где .

В электротехнике и радиотехнике члены указанного ряда называют гармониками, коэффициенты - комплексными амплитудами гармоник, а числа - волновыми числами функции . Совокупность чисел  называется амплитудным спектром. Графически амплитудный спектр изображается в виде вертикальных отрезков длиной , расположенных в точках .

Пример. Построить ряд Фурье в комплексной форме для функции

  .

Решение. Запишем ряд Фурье в виде  и определим его коэффициенты. ,

. Иначе, . С учетом полученных формул ряд Фурье в комплексной форме для заданной функции в точках непрерывности принимает вид:

.

В точках разрыва сумма ряда равна .

4.1. Задачи для самостоятельного решения.

Построить ряд Фурье в комплексной форме для следующих функций.

1. ,

2. ,

3.

Тема 5. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье.

Если функция  (периодическая или непериодическая) удовлетворяет на отрезке  условиям Дирихле, то ее можно представить рядом Фурье.

 (1),где , (2),  (3), .

Это разложение справедливо на всей числовой оси, если функция является периодической.

Рассмотрим случай, когда функция  является непериодической, заданной на всей числовой оси, т.е. . Будем предполагать, что на любом конечном отрезке  функция  удовлетворяет условиям Дирихле и является абсолютно интегрируемой, т.е. сходится несобственный интеграл (4).

Подставляя в ряд (1) коэффициенты (2) и (3), получим

.(5)

Числа образуют арифметическую прогрессию, разность которой .

Будем неограниченно увеличивать . Тогда первое слагаемое в формуле (5) стремится к нулю в силу равенства (4), а второе слагаемое напоминает интегральную сумму для функции

. Предел этой суммы есть интеграл .

Поэтому, переходя в равенстве (5) к пределу при , получим, что , или  (6). Формула (6) называется формулой Фурье, а интеграл в правой части формулы – интегралом Фурье. Формула Фурье справедлива в точках непрерывности функции . В точках разрыва интеграл Фурье равен .

Формулу (6) можно записать в другом виде.

, или

,где . (7)

В формуле (7) видна аналогия интеграла Фурье с рядом Фурье. В обоих случаях функция раскладывается на сумму гармонических составляющих. Ряд Фурье суммируется по индексу «к», принимающему дискретные значения 1,2,3…. В интеграле Фурье ведется интегрирование по непрерывной переменной .

Замечания.

1) Если  четная функция, то интеграл Фурье принимает вид

, где .

2) Если  нечетная функция, то

, где .

3) Если функция задана в интервале , то ее можно доопределить (продолжить) на интервал  четным или нечетным образом.

4) Интеграл Фурье в комплексной форме имеет вид:

, или

, где .

Пример. Представить интегралом Фурье функцию

Решение. Данная функция имеет конечное число точек разрыва (х=0 и х=1). Она является абсолютно интегрируемой, так как отлична от нуля на конечном интервале. Поэтому существует несобственный интеграл . Следовательно, данную функцию можно представить интегралом Фурье.

,

,

.

Подставим найденные коэффициенты в формулу Фурье.

Итак, .

 

 

5.1. Преобразование Фурье.

Формулу Фурье можно представить в симметричном виде, если положить .

Если  четная, абсолютно интегрируемая функция, то  интеграл Фурье имеет вид

, где  (1)

Преобразуем эту формулу следующим образом:

 (2)

Обозначим  (3). Выражение (3) называется прямым косинус - преобразованием Фурье. Подставляя выражение (3) в формулу (2), получим обратное косинус - преобразование  Фурье: .

В случае нечетной функции аналогично получим:

- прямое синус - преобразованием Фурье.

 - обратное синус - преобразованием Фурье.

В комплексной форме имеем:

 - прямое  преобразованием Фурье.

 - обратное  преобразованием Фурье.

Пример. Найти прямое и обратное косинус - преобразование Фурье для функции .

Решение. Данная функция является абсолютно интегрируемой, т.к. задана на конечном интервале. Определим

прямое косинус – преобразование Фурье.

Окончательно имеем .

Обратное косинус – преобразование Фурье:

.

5.1. Задачи для самостоятельного решения.

1) Представить интегралом Фурье функцию , доопределив ее четным (нечетным) образом для отрицательных значений .

2) Представить интегралом Фурье функцию

3) Представить интегралом Фурье функцию , доопределив ее четным (нечетным) образом для отрицательных значений .

4) Найти прямое и обратное косинус - преобразование Фурье для функции .

5) Найти прямое и обратное косинус и синус- преобразование Фурье для функции .

Найти прямое косинус и синус- преобразование Фурье для функции