Специальные разделы математики

Н.Н. Авдеева, А.И. Руденко

 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ

Учебное пособие для курсантов,

обучающихся  по специальностям:

160905 «Техническая эксплуатация транспортного

 радиооборудования», 180405 «Эксплуатация судовых и энергетических установок», и направлению 14200 «Холодильная, криогенная техника и системы жизнеобеспечения»

очной и заочной форм обучения

 

Калининград

Издательство БГАРФ

2015

УДК 517.5 (07)

Авторы: Авдеева Н.Н., канд. пед. наук, доцент

           Руденко А.И.,канд. физмат. наук.

 

 

В учебном пособии приведен обзор основных понятий и положений дисциплины «Специальные разделы математики», даны методические рекомендации по их изучению, выделены типовые задачи с решениями, представлены контрольные вопросы для самопроверки и задачи для самоподготовки по данной дисциплине, приведены варианты контрольных заданий для курсантов и студентов заочной формы обучения.

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета Балтийской государственной академии рыбопромыслового флота

 

 

Рецензенты: Антипов Ю.Н., доктор физмат. наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики Калининградского технического университета; 

Зайцев А.И.,   канд. физмат. наук, зав. лабораторией математических методов защиты и обработки информации БФУ им. И. Канта.        

 

 

© «БГАРФ» ФГБОУ ВПО «КГТУ», 2015

Введение.

Тема 1. Комплексные числа.

1.1. Основные понятия.

1.2. Геометрическое изображение комплексных чисел.

1.3. Формы записи комплексного числа.

1.4. Действия над комплексными числами.

1.5. Вопросы для самопроверки.

Тема 2. Функции комплексного переменного.

2.1. Основные определения.

2.2. Элементарные функции комплексного переменного.

2.3. Понятие предела и непрерывности функции комплексного переменного в точке.

2.4. Дифференцирование функции комплексного              переменного. Условия Эйлера – Даламбера.

2.5. Задачи для самостоятельного решения.

2.6. Интегрирование функции комплексного переменного.

2.7. Вопросы для самопроверки.

2.8. Задачи для самостоятельного решения.

2.9. Особые точки.

2.10. Вычеты.

2.11. Задачи для самостоятельного решения.

Тема3. Операционное исчисление.

3.1. Преобразование Лапласа. Оригиналы и их изображения.

3.2.Свойства преобразования Лапласа.

3.3. Таблица оригиналов и изображений.

3.4. Нахождение оригиналов по заданным изображениям в простейших случаях.

3.5. Задачи для самостоятельного решения.

3.6. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем линейных дифференциальных уравнений.

3.7. Передаточная функция.

3.8. Вопросы для самопроверки.

3.9. Задачи для самостоятельного решения.

Тема 4. Комплексная форма ряда Фурье.

4.1. Задачи для самостоятельного решения.

Тема 5. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье.

5.1. Преобразование Фурье.

5.1. Задачи для самостоятельного решения.

Тема 6. Элементы теории графов.

6.1. Основные определения.

6.2. Задачи для самостоятельного решения.

Тема 7. Задачи для контрольных заданий.студентов заочной формы обучения 

7.1 Решение типовых задач.

Общий перечень рекомендуемой литературы.

Основная литература.

Дополнительная учебная литература.

 

 

Введение

Настоящее пособие и контрольные задания составлены в соответствии с рабочей программой дисциплины «Высшая математика» на основании:

- примерной программы дисциплины «Математика» для направления 550000 («Технические науки». Министерство образования Российской Федерации. – М., 2000);

- учебного плана по специальностям: 160905 «Техническая эксплуатация транспортного радиооборудования»,180405 «Эксплуатация судовых и энергетических установок», 141 200 «Холодильная, криогенная техника и системы жизнеобеспечения» очной и заочной форм обучения.

 В результате изучения специальных разделов математики студент должен:

знать основные базовые понятия и методы теории комплексных чисел, функции комплексного переменного, операционного исчисления;

уметь применять теоретические знания для исследования простейших радиотехнических схем, систем и процессов;

иметь опыт:

- употребления математической символики для выражения количественных и качественных отношений объектов;

- аналитического и численного решения уравнений, содержащих комплексные числа;

- исследования аналитического и численного решения дифференциальных уравнений операционным методом;

- перевода технической задачи на математический язык;

- составления математической модели физических и технических процессов;

- использования справочной математической и технической литературы.

 

Тема 1. Комплексные числа.

Основные понятия. Геометрическое изображение комплексных чисел. Формы записи комплексного числа. Действия над комплексными числами.

Основные понятия.

Понятие о мнимой единице возникло в связи с решением уравнения

Полученному значению нельзя поставить в соответствие никакое действительное число. В середине 18 столетия Леонардом Эйлером был введен символ  для обозначения . 

, .

Мнимой единицей  называется число, квадрат которого равен -1.

Важно знать значения натуральных степеней числа

;  

 и т.д.

Заметим, что результаты возведения числа  в натуральную степень периодически повторяются. Периодом является число 4.

Комплексным числом  называется выражение вида,  где  и  действительные числа,  – мнимая единица.

Если , то число  называется чисто мнимым; если , то  - действительное число. Это значит, что действительные числа являются подмножеством комплексных чисел. Число  называется действительной частью комплексного числа и обозначается – мнимая часть, обозначается

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Соотношения «больше», «меньше» для комплексных чисел не определены.

Два комплексных числа , различающиеся знаком мнимой части, называются сопряженными.

Вопросы для самопроверки.

1) Как определяется число ? Чему равны степени этого числа?

2) Какие числа называются комплексными?

3) Как комплексные числа изображаются на комплексной плоскости? Что называется модулем и аргументом комплексного числа?

4) Как записать комплексное число в алгебраической, тригонометрической и показательной формах?

5) Как выполняется сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел?

6) Запишите формулу Муавра.

7) Как извлекается корень из комплексного числа? Сколько значений он имеет?

 

Степенная функция.

Определение этой функции введем в соответствии с действиями возведения в натуральную степень комплексного числа и извлечения корня из комплексного числа, рассмотренными выше. Случай, когда  – целое отрицательное число, не рассматриваем.

На основании формулы Муавра  степенной функции можно придать следующий вид

         

Степенной функции с дробным показателем можно придать следующий вид

        ,где

Отметим, что функция  является многозначной.

2. Показательная функция.

Запишем известные разложения функций  в степенной ряд для действительных значений x.

 

  

Разложим в ряд функцию , пользуясь формально разложением .

   

Применяя свойства степеней числа , получим

     , или

    

Видим, что в первой скобке получилось разложение  в степенной ряд, а во второй – разложение . Полученному результату можно придать следующий вид:

      .

Эта формула называется формулой Эйлера.

Применим формально формулу Эйлера к функции .

       , т. е.

        .

Полученная формула принимается за определение показательной функции в комплексной области. Важно отметить, что при таком определении показательной функции остаются справедливыми известные правила умножения, деления, возведения в степень. Однако приобретается новое свойство периодичности. Действительно,

        .

Из последнего следует, что показательная функция на комплексной плоскости является периодической с периодом , так как .

Формула Эйлера позволяет любое комплексное число записать в показательной форме

         .

Пример 1.Доказать справедливость равенства .

Решение.

Пример 2. Найти действительную и мнимую часть функции .

Решение.

Действительная часть данной функции , мнимая часть – .

 

Тригонометрические функции.

Если формально применить формулу Эйлера к функциям  и , т.е. заменить в ней  на  и , то получим

Из этих равенств выразим  и .                                        , .

Полученные формулы тоже называются формулами Эйлера. Правые части этих формул при комплексных значениях z принимают за определения функций  и  в комплексной области;  и определяются по формулам

Отметим, что многие свойства тригонометрических функций, в частности все тождественные равенства, справедливы для комплексных значений . Отметим также, что некоторые свойства не распространяются на комплексную плоскость. Например,  и  могут принимать значения, большие единицы. Например,

. Если учесть, что , то .

 

Гиперболические функции.

В преобразованиях различных выражений, содержащих показательные функции, и во многих практических приложениях применяются так называемые гиперболические функции Приведем их определение.

     Гиперболический синус

     Гиперболический косинус

     Гиперболический тангенс

     Гиперболический котангенс

Часто гиперболические функции удобно выражать через тригонометрические функции и наоборот.   

                   

5. Логарифмическая функция.

Логарифмическая функция определяется как функция, обратная показательной. Число  называется логарифмом числа , если  и обозначается

Обозначим  Тогда .

Запишем число  в тригонометрической форме

Два комплексных числа равны, если их модули равны, а аргументы могут отличаться на число, кратное  Следовательно,

, где  – любое целое число. В результате получим:

.

Пример. Найти .

Решение. Найдем модуль и аргумент числа

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение области на комплексной плоскости. Какая точка называется граничной? Как определяется граница области?

2. Дайте определение степенной функции на комплексной плоскости.

3. Как определяется показательная функция на комплексной плоскости? Сохраняются ли ее свойства? Какое новое свойство она приобретает? Выведите формулу Эйлера. Запишите комплексное число в показательной форме.

4. Как определяются тригонометрические функции  на комплексной плоскости?

5. Дайте определение логарифмической функции на комплексной плоскости.

6. Сформулируйте определения предела и непрерывности функции комплексного переменного в точке.

7. Дайте определение производной функции комплексного переменного. Какая функция называется аналитической? Выведите необходимые и достаточные условия аналитичности функции.

8. Как определяется интеграл от функции комплексного переменного?

9. Сформулируйте теоремы Коши для односвязной и многосвязной области и следствия из них.

10. Как применяется формула Коши для вычисления некоторых интегралов?

2.8. Задачи для самостоятельного решения.

1) Вычислить интеграл , если контур  –а)  ломаная  с вершинами в точках  б) отрезок, соединяющий точки

2) Вычислить интеграл , если контур  –а) отрезок, соединяющий точки  б) часть параболы , соединяющей эти точки.

3) Вычислить интеграл , если контур  –а) отрезок, соединяющий точки  

4) Вычислить по формуле Коши: а) , если  – окружность а) , б) ,

б) , если  - , в) , если  - ,

г) , если  - .

 

 

 2.9. Особые точки.

Определение. Точки, в которых нарушается аналитичность функции, называются особыми.

Точка  называется изолированной особой точкой, если существует окрестность этой точки, в которой функция является аналитической, за исключением самой точки.

Отметим, что это определение справедливо только для односвязной области.

Различают три типа изолированных особых точек.

1) Точка  называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел .

2) Полюсом порядка К называется такая изолированная особая точка , в которой . Если , полюс называется простым.

3) Точка  называется существенно особой точкой, если при  функция  не имеет предела (ни конечного, ни бесконечного).

Пример 1. . Точка является устранимой особой точкой, т.к.

.                                             

Пример 2. . Точка  является полюсом второго порядка, а точка является простым полюсом.

Пример 3. . Точка является существенно особой точкой, т.к. а

Задачи для самостоятельного решения.

Установить вид особых точек для следующих функций:

1) ; 2) ; 3) .

Вычеты.

Понятие вычета является одним из важнейших понятий теории функций комплексного переменного. Если функция  является аналитической в односвязной области, то , где - любой замкнутый контур, лежащий в этой области. Если внутри контура есть единственная изолированная точка  функции , то этот интеграл, вообще говоря, не равен нулю. Значение интеграла не зависит от контура интегрирования. Условились величину указанного интеграла, умноженную на , называть вычетом.

Определение. Вычетом функции  в изолированной особой точке  называется число, равное , где - окружность достаточно малого радиуса с центром в точке , в которой функция является аналитической.

Обозначается вычет: .

 

Теорема 1. Вычет функции относительно устранимой особой точки равен нулю.

Доказательство. Пусть является устранимой особой

точкой. Доопределим функцию так, чтобы она стала аналитической во всех точках окрестности, ограниченной контуром .

. Тогда по теореме Коши . На контуре функция . Поэтому и . Следовательно, .

Теорема 2. Если функция  имеет в точке  простой полюс, то .

Доказательство. По определению простого полюса . Отсюда следует, что в окрестности точки  функция  является аналитической. По теореме Коши имеем . Принимая во внимание то, что на контуре , получим

.

 

Пример. Найти вычет функции  относительно особой точки .

Решение. Заданная точка является простым полюсом. Поэтому

.

Теорема 3. Если функция  имеет в точке  полюс порядка К, то .

Например, для полюса второго порядка эта формула принимает вид: .

Для полюса третьего порядка .

Пример. Найти вычет функции  относительно точки .

 

Решение.  - полюс третьего порядка. Поэтому

.

Найдем производную второго порядка данной функции.

.

С учетом этого результата получим:

.

 

Теорема 5. Основная теорема о вычетах. (Коши, 1825г.).

Если функция  является аналитической в замкнутой области D, ограниченной контуром L, кроме конечного числа изолированных особых точек внутри области D, то интеграл по замкнутому контуру L равен произведению числа на сумму вычетов относительно особых точек, лежащих внутри контура L.

Доказательство. По теореме Коши для многосвязной области

, где  - особые точки, - окружности достаточно малых радиусов с центрами в этих точках. Применяя определение вычетов, каждый интеграл правой части можно заменить произведением  на соответствующий вычет. Получим:

.

Пример.Вычислить , где L – окружность .

Решение. Подынтегральная функция имеет две особые точки:  - полюс 2 порядка и  - простой полюс. По основной теореме о вычетах имеем: .

1)

.

2) .

3) .

2.11. Задачи для самостоятельного решения.

1) Определить вычеты функции относительно ее особых точек:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2) С помощью вычетов вычислить интегралы:

а) , где L: ,

б) , где L: ,

в) , где L: ,

г) , где L: ,

д) , где L: ,

е) , где L: .

 

Свойство линейности.

Если  и , то при любых комплексных постоянных  и  справедливо соотношение

Свойство вытекает из основных свойств интеграла. Оно говорит о том, что изображение суммы нескольких слагаемых равно сумме изображений отдельных слагаемых, при этом постоянный множитель можно выносить за знак изображения.

Пример.Пользуясь свойством линейности, найти изображение функции

Решение.

2. Теорема подобия. Если , то для любого постоянного  справедливо соотношение:  т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

Доказательство. По определению имеем .

Заменим  при t =0 u =0, при . Следовательно,

, что и требовалось доказать.

Пример.Найти изображение функции .

Решение.Мы показали, что . По теореме подобия имеем

.

3. Теорема запаздывания (оригинала). Если , то для любого положительного  справедливо соотношение , т.е. запаздывание оригинала на положительную величину  приводит к умножению изображения функции  на величину .

Доказательство. Найдем изображение функции .

Первый интеграл равен нулю, так как  при , во втором интеграле сделаем замену переменной.

, что и требовалось доказать.

Пример.Найти изображение функций

Решение. ;              

               

                 

Теорему запаздывания удобно применять при отыскании изображений функций, заданных несколькими аналитическими выражениями.

Функция  называется обобщенной единичной функцией. Так как , то .

С помощью этой функции запаздывающую функцию можно представить в виде: .

Пример. Найти изображение функции .

Решение. Данная функция равна нулю при . В момент времени  «включается» функция, равная 1, а в момент   она «снимается». С помощью единичной функции можно записать: .

Пример. Найти изображение функции .

Решение. Функция,  при . В момент времени  «включается» функция, равная , а в момент   она «снимается» и «включается» функция , которая «снимается» в момент . Поэтому .

Чтобы найти изображение этой функции с помощью теоремы запаздывания, ее нужно представить в виде:

.

Имеем: .

Так как ,

           ,

           , то, применяя теорему запаздывания, получим искомое изображение:

.

Теорема смещения (изображения).  Если , то для любого комплексного числа  имеет место соотношение .

    Пример.

                    

3. Дифференцирование оригинала. Если  и функции  являются оригиналами, то

    

 Доказательство. Докажем первое соотношение. По определению изображения находим

. По формуле интегрирования по частям, обозначив , получим , что и требовалось доказать.

 

4. Дифференцирование изображения. Если , то ; ; .

 

5. Интегрирование оригинала. Если функция  непрерывна при всех значениях  в интервале  и , то .

 

6. Интегрирование изображения. Если  и интеграл  сходится, то он служит изображением функции , т.е.

.

Таблица оригиналов и изображений.

 Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие между часто встречающимися на практике оригиналами и их изображениями.

                Таблица оригиналов и изображений.