Тема3. Операционное исчисление.

Преобразование Лапласа. Оригиналы и их изображения. Свойства преобразования Лапласа. Таблица оригиналов и изображений. Нахождение оригиналов по заданным изображениям в простейших случаях. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем дифференциальных уравнений.

Методы операционного исчисления с успехом применяются в инженерной практике при изучении переходных явлений в электрических цепях, в расчетах различных систем автоматического регулирования процессов и т. д. Правила операционного исчисления созданы английским инженером – электриком О. Хевисайдом (1850-1925) без достаточно строгого математического обоснования. Однако эти правила позволили легкими и эффективными приемами находить решение дифференциальных уравнений, которые получались при изучении явлений в различных областях техники. В настоящее время операционное исчисление является самостоятельной отраслью математического анализа.

Методы операционного исчисления предполагают следующую схему решения задач.

Допустим, что необходимо найти решение заданного дифференциального уравнения.

1. От искомых функций переходят к некоторым другим функциям – их изображениям. Определяют изображения всех составляющих данного уравнения

2. Составляют вспомогательное, так называемое операторное, уравнение, из которого легко находят изображение неизвестной функции.

3. Получив результат при действиях над изображениями, возвращаются к самим функциям.

Хорошей аналогией с операционным исчислением может служить применение логарифмов к вычислению значений выражений.

В качестве преобразования, позволяющего перейти от функции к ее изображению, будем применять преобразование Лапласа.

3.1. Преобразование Лапласа.                                           Оригиналы и их изображения.

Пусть - действительная функция действительного переменного. Поставим ей в соответствие функцию комплексной переменной  следующим образом

               (1)

Функция  называется изображением функции . Интеграл, стоящий в правой части равенства (1), называется интегралом Лапласа. Нахождение изображения  для данной функции  называется преобразованием Лапласа. Интеграл (1) является несобственным и существует не для всех функций . Поэтому на функцию  накладывают определенные ограничения и называют ее при этом оригиналом.

Определение. Функцией – оригиналом называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:

1)  при

2) при  функция  может иметь на каждом конечном отрезке лишь конечное число точек разрыва первого рода;

3) при  функция  имеет ограниченную степень роста, т.е. существуют такие числа  и , что для всех t будет выполняться неравенство . Это значит, что модуль функции  не может возрастать быстрее показательной функции. Число  называется показателем роста функции. Если , функция называется ограниченной.

Требования, предъявляемые к функции , вполне объяснимы с точки зрения физики. Обычно t – время, наблюдения начинаются с момента t =0. Отметим, что на основании пункта (2) оригиналами не могут быть функции, которые при некоторых значениях обращаются в бесконечность. Например,  и др.

Для оригинала и изображения будем применять сокращенные обозначения:

( является изображением оригинала ).

Можно показать, что интеграл Лапласа сходится абсолютно для всех значений комплексной переменной , удовлетворяющих условию , где - показатель степени роста оригинала, т.е. сходится в полуплоскости .

Пример.Найти изображение показательной функции

Решение. Данная функция является оригиналом. По определению

 

,

 если

Таким образом,

Пример. Найти изображение единичной функции

Решение. Данная функция является оригиналом. Поэтому

Таким образом,

Пример. Найти изображение функции

Решение. Данная функция является оригиналом. Поэтому

.

 

 

3.2.Свойства преобразования Лапласа.

Свойство линейности.

Если  и , то при любых комплексных постоянных  и  справедливо соотношение

Свойство вытекает из основных свойств интеграла. Оно говорит о том, что изображение суммы нескольких слагаемых равно сумме изображений отдельных слагаемых, при этом постоянный множитель можно выносить за знак изображения.

Пример.Пользуясь свойством линейности, найти изображение функции

Решение.

2. Теорема подобия. Если , то для любого постоянного  справедливо соотношение:  т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

Доказательство. По определению имеем .

Заменим  при t =0 u =0, при . Следовательно,

, что и требовалось доказать.

Пример.Найти изображение функции .

Решение.Мы показали, что . По теореме подобия имеем

.

3. Теорема запаздывания (оригинала). Если , то для любого положительного  справедливо соотношение , т.е. запаздывание оригинала на положительную величину  приводит к умножению изображения функции  на величину .

Доказательство. Найдем изображение функции .

Первый интеграл равен нулю, так как  при , во втором интеграле сделаем замену переменной.

, что и требовалось доказать.

Пример.Найти изображение функций

Решение. ;              

               

                 

Теорему запаздывания удобно применять при отыскании изображений функций, заданных несколькими аналитическими выражениями.

Функция  называется обобщенной единичной функцией. Так как , то .

С помощью этой функции запаздывающую функцию можно представить в виде: .

Пример. Найти изображение функции .

Решение. Данная функция равна нулю при . В момент времени  «включается» функция, равная 1, а в момент   она «снимается». С помощью единичной функции можно записать: .

Пример. Найти изображение функции .

Решение. Функция,  при . В момент времени  «включается» функция, равная , а в момент   она «снимается» и «включается» функция , которая «снимается» в момент . Поэтому .

Чтобы найти изображение этой функции с помощью теоремы запаздывания, ее нужно представить в виде:

.

Имеем: .

Так как ,

           ,

           , то, применяя теорему запаздывания, получим искомое изображение:

.

Теорема смещения (изображения).  Если , то для любого комплексного числа  имеет место соотношение .

    Пример.

                    

3. Дифференцирование оригинала. Если  и функции  являются оригиналами, то

    

 Доказательство. Докажем первое соотношение. По определению изображения находим

. По формуле интегрирования по частям, обозначив , получим , что и требовалось доказать.

 

4. Дифференцирование изображения. Если , то ; ; .

 

5. Интегрирование оригинала. Если функция  непрерывна при всех значениях  в интервале  и , то .

 

6. Интегрирование изображения. Если  и интеграл  сходится, то он служит изображением функции , т.е.

.

Таблица оригиналов и изображений.

 Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие между часто встречающимися на практике оригиналами и их изображениями.

                Таблица оригиналов и изображений.