Элементарные функции комплексного переменного.

Элементарные функции комплексного переменного являются естественным распространением на комплексную плоскость элементарных функций действительного переменного. Однако все эти функции в комплексной области требуют своего определения и обладают некоторыми своеобразными свойствами.

Степенная функция.

Определение этой функции введем в соответствии с действиями возведения в натуральную степень комплексного числа и извлечения корня из комплексного числа, рассмотренными выше. Случай, когда  – целое отрицательное число, не рассматриваем.

На основании формулы Муавра  степенной функции можно придать следующий вид

         

Степенной функции с дробным показателем можно придать следующий вид

        ,где

Отметим, что функция  является многозначной.

2. Показательная функция.

Запишем известные разложения функций  в степенной ряд для действительных значений x.

 

  

Разложим в ряд функцию , пользуясь формально разложением .

   

Применяя свойства степеней числа , получим

     , или

    

Видим, что в первой скобке получилось разложение  в степенной ряд, а во второй – разложение . Полученному результату можно придать следующий вид:

      .

Эта формула называется формулой Эйлера.

Применим формально формулу Эйлера к функции .

       , т. е.

        .

Полученная формула принимается за определение показательной функции в комплексной области. Важно отметить, что при таком определении показательной функции остаются справедливыми известные правила умножения, деления, возведения в степень. Однако приобретается новое свойство периодичности. Действительно,

        .

Из последнего следует, что показательная функция на комплексной плоскости является периодической с периодом , так как .

Формула Эйлера позволяет любое комплексное число записать в показательной форме

         .

Пример 1.Доказать справедливость равенства .

Решение.

Пример 2. Найти действительную и мнимую часть функции .

Решение.

Действительная часть данной функции , мнимая часть – .

 

Тригонометрические функции.

Если формально применить формулу Эйлера к функциям  и , т.е. заменить в ней  на  и , то получим

Из этих равенств выразим  и .                                        , .

Полученные формулы тоже называются формулами Эйлера. Правые части этих формул при комплексных значениях z принимают за определения функций  и  в комплексной области;  и определяются по формулам

Отметим, что многие свойства тригонометрических функций, в частности все тождественные равенства, справедливы для комплексных значений . Отметим также, что некоторые свойства не распространяются на комплексную плоскость. Например,  и  могут принимать значения, большие единицы. Например,

. Если учесть, что , то .

 

Гиперболические функции.

В преобразованиях различных выражений, содержащих показательные функции, и во многих практических приложениях применяются так называемые гиперболические функции Приведем их определение.

     Гиперболический синус

     Гиперболический косинус

     Гиперболический тангенс

     Гиперболический котангенс

Часто гиперболические функции удобно выражать через тригонометрические функции и наоборот.   

                   

5. Логарифмическая функция.

Логарифмическая функция определяется как функция, обратная показательной. Число  называется логарифмом числа , если  и обозначается

Обозначим  Тогда .

Запишем число  в тригонометрической форме

Два комплексных числа равны, если их модули равны, а аргументы могут отличаться на число, кратное  Следовательно,

, где  – любое целое число. В результате получим:

.

Пример. Найти .

Решение. Найдем модуль и аргумент числа