Тема 2. Функции комплексного переменного.

Основные определения. Элементарные функции комплексного переменного. Понятие предела и непрерывности функции комплексного переменного в точке. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Эйлера-Даламбера. Интегрирование функции комплексного переменного. Теоремы Коши. Формула Коши. Особые точки. Вычеты. Основная теорема о вычетах.

2.1. Основные определения.

 Пусть заданы два множества  и  комплексных чисел. Если каждому числу , принадлежащему множеству , по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное число , принадлежащее , то говорят, что на множестве  задана однозначная функция комплексного переменного .

Множество  называется областью определения функции,  – множество ее значений. В дальнейшем будем рассматривать такие множества  и , которые являются областями. Областью на комплексной плоскости называется множество точек, обладающих следующими свойствами:

1) около любой точки области можно описать круг достаточно малого радиуса с центром в этой точке так, что он целиком будет лежать в этой области (свойство открытости),

2) любые две точки области можно соединить ломаной так, что все ее точки будут принадлежать этой области (свойство связанности).

Простейшим примером области может быть открытый круг с центром в точке  и радиусом . Все внутренние точки круга удовлетворяют неравенству . В этом легко убедиться, если неравенство представить в векторной форме (рис. 4). Рассмотрим окружность с центром в точке и радиусом .

 

Рис.4.

 

Пусть - произвольная точка окружности.

    .

Таким образом, уравнение определяет окружность радиуса  с центром в точке . Тогда внутренние точки круга можно определить неравенством .

- окрестностью точки называется открытый круг радиуса  с центром в точке .

Граница замкнутой области может состоять из одной, двух и более связанных частей. В этих случаях область называется односвязной, двухсвязной, многосвязной. На рисунке 5 показана трехсвязная область.

 

 

Рис.5.

Граничной точкой области называется такая точка, которая сама не принадлежит области, но в любой ее окрестности лежат точки этой области. Совокупность граничных точек называется границей области. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой.

Функцию  можно записать в виде . Функция  называется действительной частью рассматриваемой функции и обозначается , функция  – мнимая часть .

Таким образом, задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций действительных переменных  и

Пример. Найти действительную и мнимую части функции .

Решение. Запишем данную функцию в виде

Отсюда следует, что