Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем линейных дифференциальных уравнений.
Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ; . Решение.Будем считать, что искомая функция вместе со своими производными являются оригиналами. Обозначим искомую функцию , а ее изображение . Определим изображения всех компонент дифференциального уравнения. По теореме о дифференцировании оригинала определим изображения производных. Получим
Подставим эти изображения в данное дифференциальное уравнение. Получим вспомогательное (операторное) уравнение . Из этого уравнения найдем . . Чтобы определить оригинал (решение уравнения) , представим полученную рациональную дробь в виде суммы простейших рациональных дробей. = . Две дроби с одинаковыми знаменателями тождественно равны, когда равны их числители, т.е. . Это равенство является тождеством. Оно верно при любых значениях . При получим При получим При получим . Итак, = . По таблице, пользуясь формулами (1) и (4), определим искомое частное решение данного дифференциального уравнения: . Пример. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений , удовлетворяющее начальным условиям
Решение.Предположим, что искомые функции и их производные являются оригиналами. Пусть Составим вспомогательную систему уравнений.
Решим полученную систему линейных уравнений по правилу Крамера.
По полученным изображениям определим оригиналы и .Для этого представим полученные рациональные дроби в виде суммы простейших дробей.
Пусть
Итак, . Пользуясь таблицей, определим .
Пусть
, . Искомое частное решение данной системы дифференциальных уравнений имеет вид: , . Передаточная функция. Понятие передаточной функции широко используется в теории автоматического регулирования. Пусть требуется найти решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях. Ограничимся рассмотрением уравнений второго порядка. Найдем частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ; . Будем считать, что искомая функция вместе со своими производными являются оригиналами. Обозначим искомую функцию , а ее изображение .
По теореме о дифференцировании оригинала определим изображения производных:
Подставим эти изображения в данное дифференциальное уравнение. Получим вспомогательное (операторное) уравнение. Функцию называют передаточной функцией данного дифференциального уравнения. Изображение решения этого уравнения с помощью передаточной функции можно записать в виде: . Пусть - оригинал, для которого изображением служит передаточная функция. Тогда по теореме свертывания оригиналов , т.е. . Пример.Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ; . Решение. Составим передаточную функцию . Тогда . Искомое решение равно:
Литература: /2, глава IX § 32-34/ или /3, глава II § 11-18/ или /4, глава 14 § 16-17 /.
Вопросы для самопроверки. 1. Дайте определение преобразования Лапласа. Что называется функцией – оригиналом и ее изображением? 2. Найдите изображения единичной функции, показательной функции , тригонометрических функций . 3. Сформулируйте следующие свойства преобразования Лапласа: а) свойство линейности, б) теорему подобия, в) теорему запаздывания, г) теорему смещения. 4. Если , то какие изображения имеют производные 5. Как определить оригинал по известному изображению? 6. Изложите суть операционного метода решения дифференциальных уравнений и их систем. 3.9. Задачи для самостоятельного решения. 1. Найти частное решение дифференциального уравнения. ; ; ; ; ; ; ; ; . 2.Найти частное решение системы дифференциальных уравнений. ; ; ; ; . 3. С помощью передаточной функции найти частное решение дифференциального уравнения. 1) , 2) , 3) .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2022-01-22; просмотров: 48; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.163.58 (0.015 с.) |