Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Понятие предела и непрерывности функции комплексного переменного в точке.
Допустим, что функция однозначно определена в окрестности точки . В этом случае на функцию комплексного переменного можно распространить определение предела для функции действительного переменного, т.е. существует при , если существуют пределы: и . При этом Исключительно важно отметить, что в соответствии с данным определением функция стремится к своему пределу независимо от способа приближения точки к точке в комплексной области, т. е., если предел существует, то он один и тот же при любым способом (по любому пути). Функция называется непрерывной в точке , если она определена в самой точке и ее окрестности и Для непрерывности функции в точке необходимо и достаточно, чтобы функции и были непрерывны в точке . Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области. 2.4. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Эйлера – Даламбера. Пусть задана функция в некоторой комплексной области. Придадим приращение . Получим приращение функции . Составим отношение . Определение. Производной функции в комплексной области называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, т.е. . Причем предполагается, что этот предел имеет одно и то же значение независимо от способа стремления приращения аргумента к нулю. Сформулируем исключительно важное условие дифференцируемости функции . Теорема. Если функция определена в некоторой окрестности точки , причем в этой точке функции и дифференцируемы, то для дифференцируемости функции комплексного переменного в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место соотношения Эти соотношения называются условиями Эйлера – Даламбера или условиями Коши - Римана. Докажем необходимость этих условий. Предположим, что существует предел . Так как этот предел не зависит от направления стремления приращения к нулю, выберем для простоты направления, параллельные осям координат. 1. Предположим, что точка приближается к точке по прямой, параллельной действительной оси .
В этом случае
. 2. Предположим теперь, что точка приближается к точке по прямой, параллельной мнимой оси . В этом случае Результаты для первого и второго случаев должны быть равными, т.е. отсюда следует, что Полученные равенства являются не только необходимыми, но и достаточными условиями дифференцируемости функции комплексного переменного. Определение. Функция , дифференцируемая в каждой точке комплексной области, называется аналитической в этой области. Условия Эйлера - Даламбера можно рассматривать как необходимые и достаточные условия аналитичности функции в заданной области. Следует помнить, что под аналитической функцией всегда понимается однозначная функция. Отметим, что все элементарные функции являются аналитическими за исключением отдельных точек. Например, для исключаются значения , для которых С учетом условий Эйлера – Даламбера производную дифференцируемой функции можно найти по одной из формул:
Можно доказать, что дифференцирование элементарных функций комплексного переменного можно производить по тем же формулам, по которым дифференцируются соответствующие функции действительного переменного. Пример. Проверить аналитичность функции и доказать справедливость формулы Решение. По определению . Действительная часть функции - , мнимая - Найдем частные производные этих функций.
Из полученных результатов видно, что условия аналитичности выполнены. Производную функции найдем по формуле 2.5. Задачи для самостоятельного решения. 1. Даны комплексные числа . Найти , , , , , . Построить эти числа на комплексной плоскости. 2. Построить области на комплексной плоскости: , , , , , , , , . 3. Вычислить . 4. Найти действительные корни уравнения . 5. Решить уравнение . 6. Найти все комплексные числа, удовлетворяющие условию: . 7. Найти образы точек при указанных отображениях. , , . 8. Дана функция . Вычислить . 9. Записать в тригонометрической форме комплексные числа: , , , . 10. Записать в показательной форме числа: , , . 11. Даны комплексные числа , . Найти . Записать результат в алгебраической форме.
12. Вычислить , . 13. Найти все значения . Изобразить корни на комплексной плоскости. 14. Найти: , , . 15. Дана функция . Вычислить , , . 16. Доказать справедливость равенств: , , , , на комплексной плоскости. 17. Найти . 18. Найти решение уравнения на комплексной плоскости. 19. Доказать тождество . 20. Найти действительную и мнимую часть числа , функции , функции . 21. Показать, что функция является аналитической на всей комплексной плоскости. Найти ее производную в точке , , , . 22. Доказать справедливость формулы . 23. Показать, что функция дифференцируема только в точке . 24. Найти аналитическую функцию по ее действительной части: а) , б) , если .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2022-01-22; просмотров: 50; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.223.151.158 (0.035 с.) |