Квантово-Скорректированная Однородная Безмассовая Скалярная модель поля

Поскольку существует точное соответствие между скалярным полем без массы и жесткой жидкостью,

Мы можем проанализировать модель однородного скалярного поля, модель отскока в которой была идеальной

Жидкость, но с другим уравнением состояния. Мы еще раз перепишем уравнения Эйнштейна

как классическое + поправки, где ρ

cr

Определяет масштаб, в котором квантовые эффекты становятся

Важный. Система обладает эффективной плотностью энергии

ρ

Эф ф

= ρ

1 −

ρ

ρ

cr

В случае скалярного поля это эквивалентно идеальной жидкости с уравнением состояния

ρ = p. Таким образом, из уравнений Эйнштейна мы находим

Немецкая марка

da

= −

М

a

(4.35)

⇒ M (t) =

M

0

a

3

(4.36)

Подставляя это обратно в другое уравнение плотности, мы находим ρ =

М

0

a

6

Мы получаем уравнение

Движения из уравнения для массы Миснера-Шарпа

F = R(1 − G − H)

⇒ ˙

R

2

= −

r

2

M

a

⇒ а

4

a

2

= M

0

(4.37)

Объединение этих уравнений дает нам уравнение движения в терминах реальной плотности

a

2

=

M

0

a

4

+

1

ρ

cr

М

2

0

a

10

+...

(4.38)

=

M

0

a

10

(а

6

− а

6
кр

)

(4.39)

57

Эффективная масса теперь задается

M

Ef f

=

M

0

a

3

1 −

ρ

ρ

cr

(4.40)

который стремится к нулю при t → t

cr

Эффективное давление по-прежнему обеспечивается

p

Ef f

= −

˙

M

Ef f

a

2

a

= ρ

1 −

3 ρ

ρ

cr

(4.41)

Это давление явно стремится к исходному уравнению состояния p = ρ в пределе слабого поля.

Как только квантовые эффекты станут важными, и плотность достигнет ρ

cr

/3, давление

Начинает становиться негативным. Это продолжается до критической точки t

cr

Когда квант

Эффекты обращают гравитационный коллапс вспять, заставляя коллапсирующий объект снова расширяться.

Рисунок 4.1: Масштабный коэффициент Безмассового Скалярного Поля

На этом графике красная линия указывает масштабный коэффициент a(t) в классическом случае, тогда как синяя

Линия представляет модель с квантовой коррекцией. Первоначально, в режиме слабого поля,

Полуклассическая модель ведет себя аналогично классическому случаю, однако как только мы получим

Близко к t

cr

Квантовые эффекты становятся важными, и масштабный фактор отклоняется от

Классический случай. Мы взяли М

0

= 1 и ρ

cr

= 3000.

Используя это уравнение вместе с начальным условием, что a(0) = 1, мы находим коллапс

Кривая времени должна быть

t(a) =

1

3

√

M

0

(

1 − а

6

cr

−

a

6

− а

6

cr

)

(4.42)

Которые можно переставить, чтобы получить уравнение для масштабного коэффициента

a(t) = [a

6
кр

+ (

1 − а

6

cr

− 3

M

0

т)

2

]

1/6

(4.43)

Это достигает минимума при t

cr

< Т

s

, поэтому коллапс никогда не достигает сингулярного состояния. Около

t

cr

, a(t

cr

) = 0, и с этого момента объект снова начинает расширяться.

58

4.3.2

Видимый Горизонт

Уравнение для видимого горизонта F = R становится

r

2

=

a

M

Ef f

(4.44)

⇒ r

ах

=

a

5

M

0

(а

6

− а

6

cr

)

(4.45)

r

ах

t

Рисунок 4.2: График Видимого горизонта Безмассового Скалярного поля

Это график видимой кривой Хорзона r

ах

(t) для классической модели (красная линия) и

полуклассическая модель (синяя линия). Мы можем ясно видеть, что как t → t

cr

, р

ах

→ ∞, таким образом, процесс

Становится видимым наблюдателю в бесконечности в течение короткого периода времени. В отличие от предыдущих

В случаях, когда наблюдается большое отклонение r

ах

Кривая в полуклассическом случае. Это связано с

Зависимость r

ах

На М

Эф ф

, что в свою очередь зависит от 1/a

3

.

Мы снова можем найти минимальный радиус r

Минута

, ниже которого не может образоваться видимый горизонт

на протяжении всего процесса распада. Использование dr/dt = 0 ⇒ a

6

= (5/2)a

6
кр

, мы находим, что это

Подходим так, как t стремится

t

Минута

= t

s

(

1 − а

6

cr

− а

3
кр

3
2

).

Из этого,

r

Минута

= r

ах

(t

Минута

) = а

2
кр

2
М

0

3
2

5/6

Какой радиус такой, что если граница r

b

< Р

Минута

, никакие захваченные поверхности не будут образовываться

На протяжении всего коллапса. На рисунке (4.2) он показан в виде черной пунктирной линии. Это позволяет нам

Чтобы найти минимальную массу для такого процесса на 2 м

T

= r

3

b

M

0

, следовательно

M

Минута

= а

6
кр

2
М

0

3
2

15/6

(4.46)

59

На рисунке (4.2), в отличие от предыдущих случаев, мы видим, что существует довольно большая непосредственная

Отклонение между классической и полуклассической кривой видимого горизонта. На мой взгляд,

однако этого следует ожидать, учитывая, что r ≈ 1/M

Эф ф

⇒ r ∝ a

2

Это а

2

-зависимость r

ах