Система сломалась бы, если бы мы позволили градиенту скалярного поля стать нулевым, и там-

Поэтому мы рассматриваем коллапс только тех моделей, в которых градиент остается подобным времени

На протяжении всего процесса коллапса. Примерами являются однородные и изотропные растворы FRW

Этого, или скалярные поля с неоднородными возмущениями однородного фона также

Удовлетворяйте этому условию.

Требование о том, чтобы градиент оставался похожим на время, включает в себя большое количество физически

Соответствующие сценарии обрушения, а также применимы к случаю динамической эволюции жесткой

Жидкости в пространстве-времени. Это связано с тем, что безмассовое скалярное поле с градиентом во времени минимально

В сочетании с гравитацией имеет точное соответствие с жесткой жидкостью, минимально связанной с гравитацией.

Лагранжиан безмассового скалярного поля φ (x

a

) в пространстве-времени (M, g

ab

) дается

L = −

1
2

φ

;а

φ

;b

g

ab

,

(4.1)

А тензор энергии-импульса равен

T

ab

= φ

;а

φ

;b

−

1
2

g

ab

(φ

;c

φ

;d

g

Компакт-диск

).

(4.2)

Это безмассовое скалярное поле относится к типу 1, что означает, что оно имеет одно временное и три пространственных типа

собственные векторы. Собственное значение ρ дает плотность энергии, в то время как собственные значения p

i

Дайте прес-

Конечно, в трех пространственных направлениях. Выбор сопутствующих сферически симметричных координат

(t, r, θ, φ), наиболее общей метрикой снова является

дс

2

= − e

2 ν

dt

2

+ e

2 ψ

Д-р

2

+ R

2

d Ω

2

.

(4.3)

Обычно φ = φ (r, t), но так как у нас есть диагональный тензор энергетического импульса φ (r, t) = φ (r)

или φ (t). Поскольку нас интересует динамическая эволюция поля, мы рассматриваем φ (t). В

В этой рамке компоненты являются

49

T

t

t

= T

r

r

= T

θ

θ

= T

φ

φ

=

1
2

e

− 2 ν

˙

φ

2

,

(4.4)

И с тех пор

ρ (r, t) = p(r, t) =

1
2

e

− 2 ν

˙

φ

2

,

(4.5)

Поле ведет себя как жесткая жидкость с приведенным выше уравнением состояния. Для идеальной жидкости

T

ab

= (ρ + p)u

a

u

b

+ pg

ab

,

(4.6)

Где вектор скорости равен u

µ

, и ρ = p для жесткой жидкости. Так как ρ

,µ

похоже на время, φ

,µ

φ

,µ

< 0,

И определение u

µ

= −

φ

,µ

| φ

,µ

φ

,µ

|

1/2

Мы повторно выражаем тензор энергетического импульса для скалярного поля

Как

T

ab

= (| φ

,µ

φ

,µ

|)у

a

u

b

+

1
2

g

ab

(| φ

,µ

φ

,µ

|).

(4.7)

Обозначение | φ

,µ

φ

,µ

| = ρ = p, это тот же тензор импульса энергии для жесткой жидкости.

Тогда выполняются все энергетические условия для реальных функций φ (t) и слабой энергии

условие гарантирует, что φ

,у

Всегда равно нулю или похоже по времени

ρ + p

≥ 0,

⇒ ˙

φ

2

≥ 0,

φ

µ

φ

ν

g

µ ν

=

φ

t

φ

t

g

тт

= − ˙

φ

2

e

− 2 ν

≤ 0,

Следовательно, мы можем использовать сопутствующую систему координат без возможной разбивки.

Для

В физически разумных сценариях следует ожидать увеличения плотности энергии поля

Со временем. Если у нас изначально есть регулярные условия, при которых градиент скалярного поля подобен времени, то

Плотность изначально ненулевая и будет только увеличиваться. Очевидно, на протяжении всего процесса коллапса,

градиент всегда будет оставаться похожим на время, так как | φ

µ

φ

µ

| = 2 ρ.

Уравнения Эйнштейна для безмассового скалярного поля задаются

ρ =

1
2

e

− 2 ν

˙

φ

2

=

F

R

2

R

,

(4.8)

р =

1
2

e

− 2 ν

˙

φ

2

= −

˙

F

R

2

˙

R

,

(4.9)

∂

t

(R

2

e

ψ−ν

˙

φ) = 0,

(4.10)

˙

G = 2

ν

R

˙

RG,

(4.11)

Где все это имеет обычные значения. Интегрируя (4.10), мы находим

R

2

e

ψ−ν

˙

φ = r

2

F (r),

(4.12)

С f (r) некоторой функцией интеграции. Устранение

φ (t) из (4.8) и (4.9) дает

50

Ф
Р

= −

˙

F

˙

R

=

1
2

r

4

F (r)

2

G

R

2

R

2

.

(4.13)

Учитывая эти четыре уравнения Эйнштейна с четырьмя функциями ψ, ν, R, F, решаемые в соответствии с

исходные данные и энергетические условия дают всю эволюцию системы. Как было показано ранее

G = b(r)e

РА

, и подстановка этого в приведенное выше уравнение дает

2rA(r, a) = ln

− 2 М

,а

a

2

(a + ra)

2

F (r)

2

B(r)

.

(4.14)

Чтобы определить M (r, a), мы подставляем в первые две части (4.13), чтобы получить

3 М + rM

,р

+ Q(r, a)M

,а

= 0, где Q(r, a) = 2ra + a,

(4.15)

которые имеют общие решения F (X, Y), обсуждавшиеся ранее. Решая эту задачу при r = 0, чтобы найти

Граничные условия дают

Лим

r → 0

M (r, a) =

m

0

a

3

.

(4.16)

Итак, мы исходная регулярная масса, которая расходится как a → 0.

Из (4.15) мы находим

a = W (r, a) = −

3 М + rM

,р

+ аМ

,а

RM

,а

,

(4.17)

И, используя уравнение движения, мы получаем

a = V (r, a) = − e

ν

M

a

+

G − 1

r

2

,

(4.18)

Где отрицательный знак берется для описания коллапса. Чтобы получить решение a(r, t), то

Уравнение

V

,а

W − V W

,а

= V

,р

,

(4.19)

дает условие интегрируемости для уравнений (4.17) и (4.18) [41]. Коллапс требует

M

a

+

G − 1

r

2

> 0, что действует как "условие реальности". Если условие не выполняется на протяжении всего

в процессе система достигнет a = 0 за конечное количество времени, и коллапс станет

Расширение.