Так как она должна быть наиболее плотной в центре и уменьшаться радиально наружу. Это также вызывает

a(t) → a(t, r), что позволяет нам изменять координаты с (r, t) → (r, a), как и ранее. Поскольку a является функцией

от r и t любые радиальные производные станут X = X

,р

+ X

,а

a.

Неоднородности давления и плотности представлены в [37] в виде

p(a, r) = p

0

(а) + р

1

(a)r +

1
2

p

2

(a)r

2

,

(3.36)

ρ (a, r) = ρ

0

(a) + ρ

1

(a)r +

1
2

ρ

2

(a)r

2

,

(3.37)

Где р

i

(а), ρ

i

(а) зависит от конкретной формы М. Затем они выбирают Мизнер-Шарп

Масса F, поэтому M разделяется в r и a как

M (r, a) = m(a)(1 + (r)),

(3.38)

Где

является радиальным возмущением M (r, a) и ”мал” по сравнению с m(a). Для

Регулярность и непрерывность, мы предполагаем, что M равно по крайней мере C

2

В r и C

1

В а, и снова видим, что

M (r, a) = M

0

(a) + M

1

(a)r +

1
2

M

2

(a)r

2

.

(3.39)

39

Аналогично случаю с пылью, для предотвращения острых точек в источнике и обеспечения регулярности данных,

M

1

должно исчезнуть при r = 0. Таким образом, М

1

(a) = m(a) (0) = 0 ⇒

(0) = 0. Исправление другого

датчик позволяет нам предположить (0) = 0, гарантируя, что центр скопления действует в том же направлении, что и

как модель коллапса однородной жидкости. Окончательное требование-для |М

2

| <

0

, давая

(0) << 1.

Непрерывность M означает, что мы можем принять m(a) в виде [37]

m(a) = m

0

+ м

1

a.

(3.40)

Расширение давления и плотности около r = 0 в уравнениях (2.2) и (2.3) дает

P(a, r)

=

−

м(а)

,а

a

2

−

1
2

м(а)

,а

a

2

(0)r

2

,

(3.41)

ρ (a, r)

=

3 м(а)

a

3

+

5
2

м(а) (0)

a

2

r

2

.

(3.42)

Для реалистичной модели, в которой плотность уменьшается радиально наружу, мы должны иметь

(0) < 0.

Используя уравнение движения массы (2.6), мы можем упростить его, чтобы найти уравнение движения

Системы, как было показано ранее, чтобы быть

a = − e

ν

M

a

+

Быть

2А

− 1

r

2

,

(3.43)

что полностью решит систему для заданных вариантов M и b. В незначительно

связанный случай, который мы обсуждали, b(r) = 1.

Из уравнения (2.4)

ν (r, a)

=

r

0

−

p

ρ + p

Д-р,

(3.44)

=

r

0

M

,ра

a + (M

,аа

а − 2 М

,а

)а

(3 М + rM

,р

− аМ

,а

)а

R d

r,

(3.45)

И определение

,а

:= ν r/R, мы имеем, что

A(r, a) =

1

a

M

,ра

a + (M

,аа

а − 2 М

,а

)а

(3 М + rM

,р

− аМ

,а

)а

Рда.

(3.46)

Учитывая расширение вокруг r = 0 для M, мы находим соответствующее расширение для A(r, a)

как А = А

0

(a) + A

1

(a)r + A

2

(a)r

2

+ A

3

(a)r

3

+ A

4

(a)r

4

+..., и проверка r

2

Коэффициент

из приведенного выше интеграла для A, использующего расширение профиля массы, мы находим [37]

A

2

(а) =

1

a

М

2

, а

(3 М

0

− М

А

)

da =

2
3

m

1

(0)

m

0

(1 − а).

(3.47)

Инвертирование (3.43) как обычно, кривая времени определяется как

t(r, a) = t

i

+

1

a

e

− ν

√

a

√

М + 2А

2

a + 2r

2

A

4

a

Da.

(3.48)

40

Опять же, регулярность функций в t(r, a) означает, что она, как правило, составляет не менее C

2

вблизи r = 0

А также может быть расширен как

t(r, a) = t(0, a) + χ

1

(a)r + χ

2

(a)r

2

+ O(r

3

),

(3.49)

с χ

1

= dt/dr|

r=0

и χ

2

=

1
2

d

2

Т/др

2

|

r=0

Кривая сингулярности t

s

(r), определяется как

t

s

(r) = t(r, 0), которое является временем, необходимым для разрушения оболочки радиуса r до синусоидальности, может

Также может быть расширен по мере

t

s

(r) = t(0, 0) + χ

1

(0)r + χ

2

(0)r

2

+ O(r

3

).

(3.50)

3.2.2

Природа сингулярности

Как показано в разделе (2.2.3) и [22], поскольку M

1

= 0 ⇒ χ

1

(0) = 0, и это значение

χ

2

(0), который определяет природу сингулярности. Если χ

2

(0) > 0, t

s

(r) всегда увеличивается

во время совместного движения t, поэтому сингулярность сначала формируется в центральной оболочке r = 0. Как в

Раздел (2.1.4), для формирования черной дыры мы требуем, чтобы горизонт захвата сформировался раньше

Сингулярность, т

ах

(r) ≤ t

s

(0). Таким образом, положительность χ

2

(0) ⇒ t

ах

(r) > t

s

(0), что означает ноль

Геодезические могут вырваться из сингулярности, образующейся при t

s

(0). По крайней мере, локально это приводит к

Голая сингулярность.

Решение для χ

2

(0), соблюдая только условия порядка

m

1

m

0

, это становится [37]

χ

2

(0) = −

1

0

(0)

m

1/2
0

a

1/2

2

+

m

1

m

0

7

12

a

3/2

−

(0)

m

0

(а

3/2

− а

5/2

)

Da.

(3.51)

После решения интеграла и игнорирования последнего члена из-за малости степеней

вблизи r = 0 мы находим

χ

2

(0) = −

(0)

М

1/2
0

1 +

7

10

m

1

m

0

.

(3.52)

Как уже упоминалось, физически приемлемый профиль требует

(0)

χ

2

(0) полностью определяется значением количества в скобках. Для небольших возмущений

В противном случае однородной модели жидкости мы можем с уверенностью предположить, что m

0

< м

1

⇒ |

m

1

m

0

| < 1.

Следовательно, независимо от знака m

1

, заключенный в квадратные скобки термин всегда положителен, что подразумевает

что значение χ

2

(0) > 0 для любых исходных данных, поэтому можно с уверенностью заключить, что для любого сценария

В которой мы делаем небольшие возмущения из модели коллапса однородной идеальной жидкости,

Конечное состояние коллапса должно привести к локально обнаженной сингулярности.

Очень похожим образом на модель неоднородного пылевого коллапса мы показали, что с помощью