Усеченная пирамида. Тетраэдр

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- определение параллелепипеда, куба;

- свойства прямоугольного параллелепипеда;

- формулы объема прямоугольного параллелепипеда, куба;

уметь:

- строить параллелепипед, куб;

- вычислять объем прямоугольного параллелепипеда, куба.

 

Сведения из теории:

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой служат параллелограммы. Все шесть граней параллелепипеда – параллелограммы. Отрезки, соединяющие вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной и той же грани, называются диагоналями параллелепипеда.

Свойства параллелепипеда

1) Середина диагонали параллелепипеда является его центром симметрии.

2) Противолежащие грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.

3) Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны плоскости основания параллелепипеда, называется прямым параллелепипедом (ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ – прямой параллелепипед).

Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. Все грани прямоугольного параллелепипеда – прямоугольники. Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

1) Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:

d ²= a ²+ b ²+ c ².

2) Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

3) Для куба формула упрощается: 4 d ²=12 а ².

Пример 1. Найти длину стороны куба, если его диагональ равна 5 см.

Решение: из формулы для диагонали куба выразим его сторону: . Тогда,

Т. к. параллелепипед есть частный случай призмы, то площадь поверхности и объем параллелепипеда вычисляются по формулам для площади поверхности и объема призмы. Кроме того, объем прямоугольного параллелепипед можно вычислять по формуле: V = abc, где a, b, c – три измерения прямоугольного параллелепипеда.

Куб

Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями называется кубом. Все грани куба – равные квадраты.

Объем куба вычисляется по формуле:

V = a ³,

где a – измерение куба.

 

Как найти сумму длин всех рёбер параллелепипеда

Для удобства введем обозначения: А и В стороны основания параллелепипеда; С – его боковая грань.

Т. о., в основании параллелепипеда лежит параллелограмм со сторонами А и В. Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого равны и параллельны. Из этого определения следует, что против стороны А лежит равная ей сторона А. Поскольку противолежащие грани параллелепипеда равны (вытекает из определения), то верхняя его грань тоже имеет 2 стороны равные А. Таким образом, сумма всех четырех этих сторон равна 4 А.

То же, можно сказать, и о стороне В. Противоположная ей сторона в основании параллелепипеда равна В. Верхняя (противолежащая) грань параллелепипеда тоже имеет 2 стороны, равные В. Сумма всех четырех этих сторон равна 4 В.

Боковые грани параллелепипеда тоже являются параллелограммами (вытекает из свойств параллелепипеда). Ребро С одновременно является стороной двух соседних граней параллелепипеда. Поскольку противоположные грани параллелепипеда попарно равны, то все его боковые ребра равны между собой и равны С. Сумма боковых ребер – 4 С.

Таким образом, сумма всех ребер параллелепипеда: 4 А +4 В +4 С или 4(А + В + С).

Частный случай прямого параллелепипеда – куб. Сумма всех его ребер равна 12 А.

Пример 1.

Найдите ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда, если ширина b больше его длины а на 1 см, высота c в 2 раза больше длины а, а диагональ d в 3 раза больше длины а.

Решение: запишем основную формулу квадрата диагонали прямоугольного параллелепипеда: d ²= a ²+ b ²+ c ². Выразим все измерения через заданную длину а: b = а +1; c =2 а; d =3 а. Подставим в формулу: 9 а ² = а ²+(а +1)²+4 а ².

Решив квадратное уравнение, найдем длины всех ребер: 3 а ²–2 а –1=0.

а =1; b =2; c =2.

Пример 2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Решение: обозначим известные ребра за а и b, а неизвестное за c. Площадь поверхности параллелепипеда выражается как

Выразим с:

Подставляя заданные значения, имеем:

Задания для самостоятельного решения:

Решите задачи:

1) Надо покрасить пол в комнате. Расход краски на 1 м ² – 120 г, комната имеет размеры 5 м и 4 м. Сколько потребуется краски?

2) Надо оклеить комнату с одним окном и дверью обоями от пола до потолка. Длина комнаты 5 м, ширина – 4 м, высота – 3 м. Площадь окна 3 м ², площадь двери 2 м ². Обои продаются целыми рулонами, 1 рулон на 10 м ². Сколько потребуется рулонов обоев?

3) Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

4) Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение параллелепипеда, куба, выполните соответствующие чертежи.

2. Перечислите свойства прямоугольного параллелепипеда.

3. Запишите формулы для вычисления объема параллелепипеда, куба.

Практическое занятие