Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума
Цель работы: обучающийся должен: знать: - определения возрастающей (убывающей) функции; - определения точки максимума (минимума) функции; уметь: - находить промежутки монотонности функции; - вычислять точки экстремума функции.
Сведения из теории: Возрастание и убывание функций Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х 1 и х 2 из множества Р, таких, что х 2> х 1, выполнено неравенство f (x 2)> f (x 1). Функция f убывает на множестве Р, если для любых х 1 и х 2 из множества Р, таких, что х 2> х 1, выполнено неравенство f (x 2)< f (x 1). Иными словами, функция f называется возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция f называется убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции. Пример 1. Докажите, что функция f (x)=1/ x является убывающей. Решение: область определения функции: (-∞; 0) и (0; +∞). Рассмотрим поведение функции на каждом интервале: (-∞; 0): х 1=-8, х 2=-4, т.е. х 2> х 1, тогда f (- 8)=-0,125, f (-4)=-0,25, т.е f (x 2)< f (x 1), а значит функция f (x)=1/ x является убывающей на интервале (-∞; 0). (0; +∞): х 1=4, х 2=8, т.е. х 2> х 1, тогда f (4)=0, 25, f (8)=0,125, т.е. f (x 2)< f (x 1), а значит функция f (x)=1/ x является убывающей на интервале (0; +∞). Однако эта функция не является убывающей на объединении этих промежутков. Например, 1>-1, но f (1)< f (-1). При исследовании функций на возрастание и убывание принято указывать промежутки возрастания и убывания максимальной длины, включая концы (если, конечно, они входят в эти промежутки). Так, можно было сказать, что функция f (x)=1/ x является убывающей на отрезке [2; 500]. Это верно, но такой ответ неполон. При исследовании поведения функции вблизи некоторой точки удобно пользоваться понятием окрестности. Окрестностьюточки а называется любой интервал, содержащий эту точку. Например, интервал (2; 6) – одна из окрестностей точки 3, интервал (-3,3; -2,7) – окрестность точки -3. Экстремумы Точка х 0 называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство f (x)≥ f (x 0). Точка х 0 называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство f (x)≤ f (x 0).
По определениям значение функции f в точке максимума х 0 является наибольшим среди значений функции из некоторой окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности х 0, как правило, имеет вид гладкого «холма» или заостренного «пика». В окрестности точки минимума графики, как правило, изображаются в виде «впадины», тоже или гладкой или заостренной. Для точек максимума и минимума функции принято общее название – их называют точками экстремума. Значение функции в этих точках называют соответственно максимумами и минимумами функции (общее название – экстремум функции). Точки максимума обозначают x max, а точки минимума x min. Значения функции в этих точках обозначаются соответственно y max, y min. Пример 2. Начертите эскиз графика функции f, если известно, что f возрастает на промежутке (-∞; 2] и убывает на промежутке [2; +∞). Какой будет точка х =2? Решение: схематично график можно изобразить в виде: График имеет вид гладкого «холма», а значит точка х =2 – точка максимума. Задания для самостоятельного решения: Начертите эскиз графика функции f, определите вид точек, если:
Контрольные вопросы: 1. Какая функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке? 2. Дайте определение точке максимума (минимума) функции.
Практическое занятие Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция). Понятие о непрерывности функции
Цель работы: обучающийся должен: знать: - графики элементарных функций; уметь: - строить график функции как композицию двух функции.
Сведения из теории: Построение графика суммы (произведения) двух функций производится сложением (умножением) ординат точек графиков с одинаковыми абсциссами. Пример 1. Пусть даны графики функций y = x и y= sin x. Построить y = x +sin x и y = x sin x, являющихся соответственно суммой и произведением заданных графиков. Решение: графики функций y = x +sin x и y = x sin x:
Пусть известен график y = f (x) и нужно построить график функции y =| f (x)|. По определению, Значит, часть графика, лежащую в верхней координатной полуплоскости, изменять не надо, а часть графика, лежащую в нижней координатной полуплоскости, нужно отобразить симметрично относительно оси O х. Пусть известен график y = f (x) и нужно построить график функции y=f (| x |). Заметим, что при x ≥0 f (| x |)= f (x), а функция y = f (| x |) четная. Поэтому, чтобы построить график функции y = f (| x |), нужно часть графика функции y = f (x), лежащую в левой координатной полуплоскости, отбросить, а часть графика, лежащую в правой координатной полуплоскости, отобразить симметрично относительно оси O у. Задания для самостоятельного решения: Построить графики функций:
Контрольные вопросы: 1. Как построить сумму (произведение) двух функций? 2. Как построить модуль функции, модуль аргумента? Практическое занятие Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции
Практическое занятие Примеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин. Определение функций.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-11-27; просмотров: 354; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.141.45.253 (0.01 с.) |